Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.1 (6 BE)

Aus einem Stück Draht der Länge

72 [cm]

sollen die Kanten eines Quaders geformt werden, dessen Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen

a

bzw.

2 a

ist.

Berechnen Sie zunächst das Volumen

V (a)

des Quaders in Abhängigkeit von der Länge

a

. Geben Sie auch eine sinnvolle Definitionsmenge an.
[Teilergebnis:

V (a) = 36 a^{2} - 6 a^{3}

Lösung zu Teilaufgabe 4.1

Volumen eines Quaders

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Höhe

h

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Umfang

U

des Quaders (

U = 72

) besteht aus jeweils 4 Strecken der Länge

2 a

a

und

h

(Höhe des Quaders).

72 = 4 \cdot (2 a + a + h)

\Rightarrow

18 = 3 a + h

\Rightarrow

h = 18 - 3 a

Volumen bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Quaders

Das Volumen eines Quaders mit Grundfläche

G

und Höhe

h

ist gegeben durch:

V = G \cdot h

V (a) = 2 a \cdot a \cdot h

V (a) = 2 a^{2} \cdot (18 - 3 a) = 36 a^{2} - 6 a^{3}

Definitionsmenge:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinnvoll

Nur wenn die Seitenlängen (also

a

und

h

) positiv sind, kann der Quader existieren.

a > 0

\Rightarrow

D_{V} =] 0; \dots

h > 0

\Rightarrow

18 - 3 a > 0

\Rightarrow

6 > a

\Rightarrow

D_{V} =] 0; 6 [

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Quaders

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