Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.3 (3 BE)

Begründen Sie ohne Rechnung mit Hilfe der obigen Zeichnung, an welcher Stelle der Graph von

g

eine Wendestelle hat.

Lösung zu Teilaufgabe 3.3

Eigenschaften der Ableitungsfunktion

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Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Extrempunkt einer Funktion

f

an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

In diesem Fall hat

g^{'}

ein Tiefpunkt an der Stelle

x = - 2

. Die Ableitung von

g^{'}

ist

g^{''}

. Somit hat

g^{''}

eine Nullstelle bei

x = - 2

g^{'}

hat bei

x = - 2

ein Tiefpunkt

\Rightarrow

g^{''}

hat eine Nullstelle bei

x = - 2

g^{''} (- 2) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Monotonieverhalten einer Funktion

Am Graphen von

g^{'}

kann man sehen, dass für

x < - 2

der Graph fällt, d.h. dass die Ableitung

g^{''}

von

g^{'}

dort negativ ist.

Für

x > - 2

steigt der Graph von

g^{'}

, d.h. die Ableitung

g^{''}

von

g^{'}

ist dort positiv.

G_{g^{'}}

fällt für

x < - 2

\Rightarrow

g^{''} (x) < 0

G_{g^{'}}

steigt für

x < - 2

\Rightarrow

g^{''} (x) > 0

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

\Rightarrow

G_{g}

hat Wendestelle bei

x = - 2

, da Vorzeichenwechsel in

g^{''}

bei

x = - 2

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Themen dieser Aufgabe:

Eigenschaften der Ableitungsfunktion

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