Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.4 (3 BE)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von

k

, für den die Funktion an der Stelle

x_{o} = 2

einen relativen Hochpunkt besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe 1.4

Art von Extrempunkten ermitteln

f_{k}^{'} (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + k x + 2

f_{k}^{''} (x) = - 3 x + k

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

f_{k}^{'} (2)

gleich Null setzen:

f_{k}^{'} (2) = - \frac{3}{2} \cdot 2^{2} + 2 k + 2 = 2 k - 4

2 k - 4 = 0

\Rightarrow

k = 2

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Tiefpunkt (Minimum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Hochpunkt (Maximum).

Art des Extrempunkts überprüfen:

f_{2}^{''} (2) = - 3 \cdot 2 + 2 = - 4 < 0

\Rightarrow

rel. Hochpunkt bei

x_{0} = 2

für

k = 2

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Themen dieser Aufgabe:

Art von Extrempunkten ermitteln

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