Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.1 (4 BE)

Gegeben ist die reelle Funktion

f_{k} : x \mapsto - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{k}{2} x^{2} + 2 x - 2 k

mit

k \in ℝ

und

D_{f_{k}} = ℝ

.

Der Graph wird mit

G_{f_{k}}

bezeichnet.

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph

G_{f_{k}}

für jedes

k

zwei relative Extremstellen besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe 1.1

Art von Extrempunkten ermitteln

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f_{k} (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{k}{2} x^{2} + 2 x - 2 k

Erste Ableitung bilden:

f_{k}^{'} (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + k x + 2

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

Erste Ableitung gleich Null setzen:

f_{k}^{'} (x) = 0

- \frac{3}{2} x^{2} + k x + 2 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Diskriminante

Die Lösungen zu einer Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c = 0

lauten stets:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante

D

D = b^{2} - 4 a c

Man unterscheidet drei Fälle:

Die Diskriminante ist negativ: $D < 0$
$\Rightarrow$ Die Gleichung hat keine Lösung

Die Diskriminante ist Null: $D = 0$
$\Rightarrow$ Die Gleichung hat genau eine Lösung

Die Diskriminante ist positiv: $D > 0$
$\Rightarrow$ Die Gleichung hat genau zwei Lösungen

Diskriminante

D

bestimmen:

D = b^{2} - 4 a c

D = k^{2} - 4 \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot 2 = \underset{> 0}{\underset{︸}{k^{2} + 12}}

\Rightarrow

D > 0

für alle

k \in ℝ

\Rightarrow

2 Extremstellen

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