Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2 (7 BE)

Berechnen Sie die maximalen Monotonieintervalle. Geben Sie mit deren Hilfe Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte an.

Lösung zu Teilaufgabe 2.2

Monotonieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{2} (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 4

f_{2}^{'} (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + 2

Erste Ableitung gleich Null setzen:

f_{2}^{'} (x) = 0

- \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + 2 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form

a x^{2} + b x + c = 0

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{1, 2}^{E} = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot 2}}{2 \cdot (- \frac{3}{2})} = \frac{- 2 \pm 4}{- 3}

\Rightarrow

x_{1}^{E} = - \frac{2}{3}

;

x_{2}^{E} = 2

Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung mit Hilfe einer Skizze von

f_{2}^{'}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Parabel

Der Graph von

f_{2}^{'}

ist wegen dem negativen Leitkoeffizienten

- \frac{3}{2}

eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen

x = - \frac{2}{3}

und

x = 2

Schritt einblenden / ausblenden

f_{2}^{'} (x) > 0

für

x \in] - \frac{2}{3}; 2 [

f_{2}^{'} (x) < 0

für

x \in] - \infty; - \frac{2}{3} [\cup] 2; \infty [

Schritt einblenden / ausblenden

Monotonieverhalten einer Funktion

Für stetige Funktionen besteht eine Beziehung zwischen Monotonie und Ableitung, da die Ableitung die Steigung der Funktion angibt.

Es gilt:

Ist

f^{'} (x) > 0

in einem Intervall

] a; b [

, so ist

G_{f}

für

x \in [a; b]

streng monoton steigend.

Ist

f^{'} (x) < 0

in einem Intervall

] a; b [

, so ist

G_{f}

für

x \in [a; b]

streng monoton fallend.

\Rightarrow

G_{f_{2}}

ist streng monoton steigend für

x \in [- \frac{2}{3}; 2]

\Rightarrow

G_{f_{2}}

ist streng monoton fallend für

x \in] - \infty; - \frac{2}{3}] \cup [2; \infty [

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Vorzeichenwechsel in

f_{2}^{'}

bei

x = - \frac{2}{3}

von "

-

" nach "

+

\Rightarrow

MIN (- \frac{2}{3} | - \frac{128}{27})

Vorzeichenwechsel in

f_{2}^{'}

bei

x = 2

von "

+

" nach "

-

\Rightarrow

MAX (2 | 0)

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(+)

nach

(-)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt (Maximum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(-)

nach

(+)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt (Minimum).

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Themen dieser Aufgabe:

Monotonieverhalten einer Funktion

Art von Extrempunkten ermitteln

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