Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.2 (6 BE)

Berechnen Sie die Steigung der Wendetangente des Graphen

G_{f_{k}}

. Bestätigen oder widerlegen Sie anhand Ihres Ergebnisses die Aussage:
"Für

k > 0

gilt: Je größer der Wert von

k

, desto steiler die Tangente."
(Ausführliche Rechnung nicht erforderlich!)

Lösung zu Teilaufgabe 1.2

Wendepunkt ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{k} (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{k}{2} x^{2} + 2 x - 2 k

f_{k}^{'} (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + k x + 2

Zweite und dritte Ableitung bilden:

f_{k}^{''} (x) = - 3 x + k

f_{k}^{'''} (x) = - 3

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

erfüllt sein:

f^{''} (x^{WP}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{''} (x) = 0

Zweite Ableitung gleich Null setzen:

f_{k}^{''} (x) = 0

- 3 x + k = 0

\Rightarrow

x^{WP} = \frac{k}{3}

(mögliche Wendestelle)

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und ist die dritte Ableitung ungleich Null an dieser Stelle, d.h.

f^{'''} (x^{WP}) \neq 0

, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

Wert der dritten Ableitung an der Stelle

x^{WP} = \frac{k}{3}

prüfen:

f_{k}^{'''} (\frac{k}{3}) = - 3 \neq 0

\Rightarrow

x^{WP} = \frac{k}{3}

ist Wendestelle

Wendetangente

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Steigung der Wendetangente:

Schritt einblenden / ausblenden

Tangentensteigung

Die Steigung

m

der Tangente

t

an dem Graphen

G_{f}

einer Funktion

f (x)

in einem Punkt

S (x_{S} | y_{S})

ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x_{S}

m = f^{'} (x_{S})

Bei einer Wendetangente ist der Punkt

S

der Wendepunkt.

m = f_{k}^{'} (\frac{k}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{k}{3})}^{2} + k \cdot \frac{k}{3} + 2 = \frac{1}{6} k^{2} + 2

Aussage ist richtig, da für

k > 0

der Wert von

\frac{1}{6} k^{2} + 2

für steigende Werte von

k

zunimmt.

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Themen dieser Aufgabe:

Wendepunkt ermitteln

Wendetangente

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