Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2c (6 BE)

Zeigen Sie:

A_{a} = 2 \sqrt{5 a} - 2

(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Term der Funktion

f_{a}

als Differenz darzustellen.)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Stammfunktion bestimmen

Zunächst wird der Term der Funktion

f_{a}

als Differenz umgestellt.

f_{a} (x) = \frac{a x^{2} - 5}{x^{2}} = \frac{\frac{a x^{2}}{x^{2}} - \frac{5}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}} = a - \frac{5}{x^{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

1. Potenzgesetz

f (x) = x^{n} \Rightarrow F (x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

f (x) = \frac{5}{x^{2}} = 5 \cdot x^{- 2} \Rightarrow F (x) = 5 \cdot \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} = - 5 x^{- 1} = \frac{5}{x}

Die Stammfunktion

F_{a}

von

f_{a}

lautet dann:

f_{a} (x) = a - \frac{5}{x^{2}} = a \cdot x^{0} - 5 \cdot x^{- 2} \Rightarrow F_{a} (x) = a x^{1} - (\frac{5 x^{- 1}}{- 1}) = a x + \frac{5}{x}

Flächenberechnung

A_{a} = 2, 5 a - \int_{\sqrt{\frac{5}{a}}}^{2, 5} f_{a} (x) dx

A_{a} = 2, 5 a - \int_{\sqrt{\frac{5}{a}}}^{2, 5} (a - \frac{5}{x^{2}}) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A_{a} = 2, 5 a - {[a x + \frac{5}{x}]}_{\sqrt{\frac{5}{a}}}^{2, 5}

A_{a} = 2, 5 a - [(a \cdot 2, 5 + \frac{5}{2, 5}) - (a \sqrt{\frac{5}{a}} + \frac{5}{\sqrt{\frac{5}{a}}})]

Schritt einblenden / ausblenden

Rationalmachen des Nenners

a \cdot \sqrt{\frac{5}{a}} = a \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}} = a \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = a \cdot \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{a}}{a} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{a}

\frac{5}{\sqrt{\frac{5}{a}}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}} = \frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{a} = \frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{a} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{5}}{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{a}

A_{a} = 2, 5 a - [(a \cdot 2, 5 + 2) - (\sqrt{5} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{a})]

A_{a} = 2, 5 a - 2, 5 a - 2 + 2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{a}

A_{a} = 2 \sqrt{5 a} - 2

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 3

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Themen dieser Aufgabe:

Stammfunktion bestimmen

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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