Abitur 2006 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Schar von Funktionen

f_{a} : x \mapsto \frac{a x^{2} - 5}{x^{2}}

mit

a \in ℝ^{+}

und Definitionsbereich

D_{a} = ℝ ∖ {0}

. Der Graph von

f_{a}

wird mit

G_{a}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von

G_{a}

und die zwei Nullstellen von

f_{a}

.
[Teilergebnis:

x_{1} = \sqrt{\frac{5}{a}}

]

Teilaufgabe 1b (3 BE)

Begründen Sie, dass

y = a

Asymptote von

G_{a}

ist. Untersuchen Sie das Verhalten von

f_{a}

an der Definitionslücke.

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von

f_{a}

.
[Zur Kontrolle:

{f_{a}}^{'} (x) = \frac{10}{x^{3}}

]

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Die Abbildung zeigt drei Graphen der Schar zu ganzzahligen Parameterwerten a. Geben Sie an, zu welchem a die Graphen I, II und III jeweils gehören, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

Teilaufgabe 2a (2 BE)

Ermitteln Sie, für welche Parameterwerte a die positive Nullstelle von

f_{a}

kleiner als 2,5 ist.

Für diese Parameter a schließen der Graph

G_{a}

, die Koordinatenachsen, die Asymptote

y = a

und die Gerade

x = 2, 5

im ersten Quadraten eine Fläche mit Inhalt

A_{a}

ein.

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Markieren Sie die Fläche für einen der Graphen in der Abbildung von Aufgabe 1d. Begründen Sie, dass für den Flächeninhalt

f_{a}

gilt:

A_{a} = 2, 5 a - \int_{\sqrt{\frac{5}{a}}}^{2, 5} f_{a} (x) ⅆ x

Teilaufgabe 2c (6 BE)

Zeigen Sie:

A_{a} = 2 \sqrt{5 a} - 2

(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Term der Funktion

f_{a}

als Differenz darzustellen.)

Teilaufgabe 2d (4 BE)

Geben Sie ein Beispiel für zwei Parameterwerte

a_{1}

und

a_{2}

an, so dass sich die Flächeninhalte

A_{a_{1}}

und

A_{a_{2}}

2 \sqrt{5}

unterscheiden.

Teilaufgabe 3 (9 BE)

Nun sei

a = 2

. Die nebenstehende Abbildung zeigt den zugehörigen Graphen

G_{2}

. Die Tangenten an

G_{2}

in den Kurvenpunkten

P (- 1, 25 | - 1, 2)

und

Q (1, 25 | - 1, 2)

schließen mit der Asymptote

y = 2

ein Dreieck ein. Skizzieren Sie das Dreieck in die nebenstehende Abbildung und berechnen Sie seinen exakten Flächeninhalt.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 3

Lösung als Video:

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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