Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von

f_{a}

.
[Zur Kontrolle:

{f_{a}}^{'} (x) = \frac{10}{x^{3}}

]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Monotonieverhalten einer Funktion

Zunächst ist die erste Ableitung zu bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Quotientenregel der Differenzialrechnung

f = \frac{u}{v} \Rightarrow f^{'} = {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}

In diesem Fall:

u = a x^{2} - 5 \Rightarrow u^{'} = 2 a x

v = x^{2} \Rightarrow v^{'} = 2 x

{f_{a}}^{'} (x) = \frac{2 a x \cdot x^{2} - (a x^{2} - 5) \cdot 2 x}{{{(x}^{2})}^{2}} = \frac{10}{x^{3}}

Wo ist die Ableitung positiv?

{f_{a}}^{'} (x) = \frac{10}{x^{3}} > 0

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen eines Bruches

Ein Bruch hat positives Vorzeichen wenn Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben.

In diesem Fall ist der Zähler positiv und die Funktion

x^{3}

ist für

x > 0

positiv und für

x < 0

negativ

{f_{a}}^{'} (x) > 0

für

x > 0

;

{f_{a}}^{'} (x) < 0

für

x < 0

{f_{a}}^{'} (x)

ist für

x > 0

streng monoton steigend und für

x < 0

streng monoton fallend.
Im gesamten Definitionsbereich ist

{f_{a}}^{'} (x)

nicht streng monoton.

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 3

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Themen dieser Aufgabe:

Monotonieverhalten einer Funktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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