Lösung Abitur Bayern 2024 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (5 BE)

Begründen Sie, dass die Größe des Schnittwinkels von

g_{k}

und der

x_{1} x_{2}

-Ebene weniger als

30^{\circ}

beträgt, wenn

2 k^{2} > 1

gilt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Schnitt Ebene und Gerade

\sin α = \frac{| (\begin{matrix} 1 + k \\ 1 - k \\ - 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 1 + k \\ 1 - k \\ - 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |} = \frac{1}{\sqrt{(1 + k)^{2} + (1 - k)^{2} + (- 1)^{2}} \cdot 1} = \frac{1}{\underset{> 2}{\underset{︸}{\sqrt{\underset{> 1}{\underset{︸}{2 k^{2}}} + 3}}}}

\sin α < \frac{1}{2} \Rightarrow α < 30^{\circ}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Der Sinus des Winkels

α

zwischen einer Geraden

g

und einer Ebenen

E

ist gegeben durch:

\sin α = \frac{| \vec{R V_{g}} \circ \vec{n_{E}} |}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

wobei

\vec{R V_{g}}

der Richtungsvektor der Geraden und

\vec{n_{E}}

der Normalenvektor der Ebene ist.

(Anmerkung: Man verwendet die Formel gerne ohne Betragsstriche im Zähler; also

\sin α = \frac{\vec{R V_{g}} \circ \vec{n_{E}}}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

.

Aber mit Betragsstrichen wird immer der spitze Winkel bestimmt.)

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Themen dieser Aufgabe:

Schnitt Ebene und Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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