Abitur 2024 Mathematik Analytische Geometrie V

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung).
Die Eckpunkte

A (1 | 2 | 1)

B

C (- 3 | - 6 | 9)

und

D

des Oktaeders liegen in der Ebene

H

mit der Gleichung

2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - 6 = 0

Teilaufgabe Teil A a (2 BE)

Weisen Sie nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

Teilaufgabe Teil A b (3 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in

H

liegen.

Gegeben sind die Punkte

A (8 | 0 | 6)

B (7 | 1 | 6)

und

S (0 | 0 | 10)

, die in der Ebene

E

liegen.

Teilaufgabe Teil B a (3 BE)

Berechnen Sie die Länge der Strecke

[AB]

und geben Sie die besondere Lage dieser Strecke im Koordinatensystem an.

(zur Kontrolle:

\bar{AB} = \sqrt{2}

)

Teilaufgabe Teil B b (3 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Koordinatenform.

(zur Kontrolle:

E : x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - 20 = 0

)

Betrachtet werden die Schar der Geraden

g_{k} : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 + k \\ 1 - k \\ - 1 \end{matrix})

mit

λ \in ℝ

und

k \in ℝ

sowie der Punkt

C (9 | 1 | 5)

Teilaufgabe Teil B c (4 BE)

Begründen Sie, dass jede Gerade der Schar in

E

liegt, und bestimmen Sie denjenigen Wert

k

, für den der Punkt

C

auf

g_{k}

liegt.

(zur Kontrolle:

k = 0, 8

)

Teilaufgabe Teil B d (5 BE)

Begründen Sie, dass die Größe des Schnittwinkels von

g_{k}

und der

x_{1} x_{2}

-Ebene weniger als

30^{\circ}

beträgt, wenn

2 k^{2} > 1

gilt.

Eine Skifahrerin fährt einen Hang hinab. Dieser wird modellhaft durch ein Flächenstück beschrieben, das in der Ebene

E

liegt. Die Startposition der Abfahrt entspricht dem Punkt

S

. Auf dem Hang befindet sich ein Tor, dessen Begrenzungsstangen im Modell an den Punkten

A

und

B

stehen. Von ihrer Startposition fährt die Skifahrerin zunächst entlang einer geraden Fahrlinie bis zu einer Stelle unterhalb des Tors, die dem Punkt

C

entspricht (vgl. Abbildung).

Die gerade Fahrlinie liegt dabei im Modell auf der Gerade

g_{0, 8} : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1, 8 \\ 0, 2 \\ - 1 \end{matrix})

. Die

x_{1} x_{2}

-Ebene beschreibt die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 5 Metern in der Realität.

Teilaufgabe Teil B e (3 BE)

Geben Sie mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe

a

die Breite des Tors auf Meter genau an. Begründen Sie mithilfe der Aussage aus Aufgabe

d

, dass die gerade Fahrlinie der Skifahrerin um weniger als 30° gegenüber der Horizontalen geneigt ist.

Teilaufgabe Teil B f (4 BE)

Begründen Sie rechnerisch, dass die Skifahrerin das Tor tatsächlich durchquert.

Teilaufgabe Teil B g (3 BE)

An der Stelle, die im Modell dem Punkt C entspricht, wird die Fahrlinie der Skifahrerin ohne Knick durch eine kreisbogenförmige Kurve fortgesetzt.
Während der Fahrt entlang dieser Kurve erreicht die Skifahrerin eine Stelle, die dem Punkt

D (18 | - 2 | 2)

entspricht.
Der Kreisbogen, der diese Kurve beschreibt, ist Teil eines Kreises mit Mittelpunkt

M (m_{1} | m_{2} | m_{3})

. Die Koordinaten von

M

können mit folgendem Gleichungssystem ermittelt werden.

I

m_{1} + m_{2} + 2 m_{3} - 20 = 0

II

(\begin{matrix} m_{1} - 9 \\ m_{2} - 1 \\ m_{3} - 5 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1, 8 \\ 0, 2 \\ - 1 \end{matrix}) = 0

III

\sqrt{(m_{1} - 9)^{2} + (m_{2} - 1)^{2} + (m_{3} - 5)^{2}} = \sqrt{(m_{1} - 18)^{2} + (m_{2} + 2)^{2} + (m_{3} - 2)^{2}}

Erläutern Sie die geometrischen Überlegungen, die den Gleichungen I, II und III zugrunde liegen.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

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