Lösung Abitur Bayern 2024 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (3 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Koordinatenform.

(zur Kontrolle:

E : x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - 20 = 0

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Ebenengleichung in Normalenform

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\vec{A B} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A S} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{AB} \times \vec{AS} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

\frac{1}{4}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = \frac{1}{4} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E

\vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

P

ist Aufpunkt):

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})}}

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

E

x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 8 + 0 + 12

E

x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 20

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Themen dieser Aufgabe:

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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