Lösung Abitur Bayern 2024 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (4 BE)

Betrachtet werden die Schar der Geraden

g_{k} : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 + k \\ 1 - k \\ - 1 \end{matrix})

mit

λ \in ℝ

und

k \in ℝ

sowie der Punkt

C (9 | 1 | 5)

Begründen Sie, dass jede Gerade der Schar in

E

liegt, und bestimmen Sie denjenigen Wert

k

, für den der Punkt

C

auf

g_{k}

liegt.

(zur Kontrolle:

k = 0, 8

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Lagebeziehung Gerade und Ebene

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g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 + k \\ 1 - k \\ - 1 \end{matrix})

Ebene

E

und Gerade

g

schneiden:

E \cap g

\begin{matrix} E \cap g : & λ \cdot (1 + k) + λ \cdot (1 - k) + 2 \cdot (10 - λ) & = & 20 \\ λ + λ k + λ - λ k + 20 - 2 λ & = & 20 \\ 20 & = & 20 & (wahre Aussage) \end{matrix}

\Rightarrow g_{k}

liegt in

E

Schritt einblenden / ausblenden

Lagebeziehung von Ebene und Gerade

Mögliche Lagen einer Gerade zu einer Ebene:
enthalten, parallel, Schnitt (Schnittpunkt)

Überprüfung: Ebene und Gerade scheiden.

Möglichkeiten:

Parameter bleibt stehen (z.B.

λ = 1

)

\Rightarrow

Schnittpunkt

Parameter fällt weg und die Aussage ist wahr (z.B. 0 = 0)

\Rightarrow

Gerade ist in der Ebene enthalten

Parameter fällt weg und die Aussage ist falsch (z.B. 2 = 1)

\Rightarrow

Gerade liegt parallel zur Ebene

Lagebeziehung Punkt und Gerade

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(\begin{matrix} 9 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 + k \\ 1 - k \\ - 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 9 \\ 1 \\ - 5 \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} 1 + k \\ 1 - k \\ - 1 \end{matrix})

I I I .) - 5 = - λ \Rightarrow λ = 5

I .) 9 = 5 \cdot (1 + k) \Rightarrow k = 0, 8

I I .) 1 = 5 \cdot (1 - 0, 8) \Rightarrow

wahre Aussage

\Rightarrow C

liegt für jeden Wert von

k

auf

g_{k}

Schritt einblenden / ausblenden

Lagebeziehung

Mögliche Lagen eines Punktes zu einer Gerade:
Punkt liegt auf der Gerade, Punkt liegt nicht auf der Gerade

Überprüfung: Punkt teil einer Geraden ist.

Möglichkeiten:

Parameter in allen Zeilen gleich

\Rightarrow

Punkt liegt auf der Gerade

Parameter nicht in allen Zeilen gleich

\Rightarrow

Punkt liegt nicht auf der Gerade

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Teilaufgabe Teil B g

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Lagebeziehung Punkt und Gerade

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