Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (6 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von

L

in Koordinatenform sowie die Größe

φ

des Winkels, den

L

mit der

x_{1} x_{2}

-Ebene einschließt.

(zur Kontrolle:

x_{1} + x_{2} + x_{3} - 19 = 0

;

φ \approx 55^{\circ}

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsvektoren der Ebene

L

\vec{AB} = (\begin{matrix} - 19 \\ 19 \\ 0 \end{matrix})

\vec{AE} = (\begin{matrix} - 7 \\ 0 \\ 7 \end{matrix})

(s. Teilaufgabe Teil B a)

A

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

L

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{L}}

der Ebene

L

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{AB} \times \vec{AE} = (\begin{matrix} - 19 \\ 19 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 7 \\ 0 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 133 + 0 \\ 0 + 133 \\ 0 + 133 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 133 \\ 133 \\ 133 \end{matrix}) = 133 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

\frac{1}{133}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\Rightarrow

\vec{n_{L}} = \frac{1}{133} \cdot 133 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

A

ist Aufpunkt):

L : \underset{\vec{n_{L}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 19 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}}

L : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 19 + 0 + 0

L : x_{1} + x_{2} + x_{3} - 19 = 0

Winkel zwischen zwei Ebenen

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Normalenvektor

\vec{n_{L}}

der Ebene

L

\vec{n_{L}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Normalenvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene:

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel

α

zwischen zwei Ebenen

E

und

G

ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren

\vec{n_{E}}

und

\vec{n_{G}}

Winkel

φ

zwischen den Normalenvektoren der Ebene

L

und der

x_{1} x_{2}

-Ebene bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos φ = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Für den Richtungsvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

gilt z.B:

| \vec{n} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = 1

\cos φ = \frac{0 + 0 + 1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}

\Rightarrow

φ = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{3}}) \approx 54, 7^{\circ}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

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Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

Winkel zwischen zwei Ebenen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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