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Abitur 2023 Mathematik Analytische Geometrie V

Gegeben ist die Gerade g : X → = ( 0 1 1 ) + λ ⋅ ( 1 0 - 1 ) mit λ ∈ ℝ .
Zeigen Sie, dass g in der Ebene mit der Gleichung x 1 + x 2 + x 3 = 2 liegt.

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden h a : X → = ( 0 0 1 ) + μ ⋅ ( 1 a 0 ) mit μ ∈ ℝ und a ∈ ℝ . Weisen Sie nach, dass g und h a für jeden Wert von a windschief sind.

Gegeben sind die Punkte A ( 19 | 0 | 0 ) , B ( 0 | 19 | 0 ) , E ( 12 | 0 | 7 ) und F ( 0 | 12 | 7 ) (vgl. Abbildung 1). Das Viereck ABFE liegt in der Ebene L .
Weisen Sie nach, dass das Viereck ABFE ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist.

Bestimmen Sie eine Gleichung von L in Koordinatenform sowie die Größe φ des Winkels, den L mit der x 1 x 2 -Ebene einschließt.

(zur Kontrolle: x 1 + x 2 + x 3 - 19 = 0 ; φ ≈ 55 ∘ )

Abbildung 1 zeigt den Körper ABCDEFGH , bei dem die quadratische Grundfläche ABCD parallel zur quadratischen Deckfläche EFGH liegt.
Der Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der x 1 x 3 -Ebene als auch bezüglich der x 2 x 3 -Ebene. Außerdem werden die Punkte S k ( 0 | 0 | k ) mit k ∈ ] 7 ; + ∞ [ betrachtet, die Spitzen von Pyramiden EFGHS k sind.

Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von k , für den die Pyramide EFGHS k den Körper ABCDEFGH zu einer großen Pyramide ABCDS k ergänzt.

(zur Kontrolle: k = 19 )

Zeichnen Sie die Pyramide EFGHS 15 in Abbildung 1 ein. Die Seitenfläche EFS 15 und die Grundfläche EFGH dieser Pyramide schließen einen Winkel ein. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass die Größe dieses Winkels kleiner als 45 ∘ ist; verwenden Sie dazu folgende Information:
Für den Mittelpunkt M des Quadrats EFGH und den Punkt N mit N → = 1 2 ⋅ ( E → + F → ) gilt MS 15 ¯ < MN ¯ .

Der Körper ABCDEFGHS 15 stellt modellhaft die Knickpyramide des Pharaos Snofru dar, die ca. 2650 v. Chr. in Ägypten erbaut wurde (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt die x 1 x 2 -Ebene den horizontalen Boden; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 7 m in der Realität.



Ursprünglich wurde mit dem Bau einer Pyramide begonnen, die im Modell der Pyramide ABCDS 19 entspricht. Aufgrund von Stabilitätsproblemen im Bauprozess musste die Neigung der Seitenflächen gegenüber dem Boden beim Erreichen einer bestimmten Höhe verändert werden. Der entstandene Knick ist namensgebend für die Pyramide.
Bestimmen Sie die Höhenänderung des Bauwerks, die durch die Bauplanänderung hervorgerufen wurde, in Metern. Begründen Sie, dass im unteren Teil des Bauwerks der Neigungswinkel der Seitenflächen gegenüber dem Boden um mehr als 9 ∘ größer ist als im oberen Teil des Bauwerks.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen auf die Knickpyramide Sonnenstrahlen, die im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor S 15 E → dargestellt werden. Der Schatten der Spitze der Knickpyramide auf dem horizontalen Boden wird durch den Punkt T beschrieben.
Die Lote durch die Punkte E , F , G , H und S 15 auf die x 1 x 2 -Ebene schneiden diese in den Punkten E ′ , F ′ , G ′ , H ′ bzw. S ′ . Diese sind zusammen mit der Grundfläche der Pyramide und dem Punkt T in Abbildung 3 dargestellt.

Berechnen Sie die Koordinaten von T .

Der Schattenbereich der gesamten Pyramide auf dem Boden besteht im Modell aus zwei kongruenten Vierecken. Zeichnen Sie diesen Schattenbereich in Abbildung 3 ein und geben Sie die besondere Form der genannten Vierecke an.

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