Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (3 BE)

Gegeben sind die Punkte

A (19 | 0 | 0)

B (0 | 19 | 0)

E (12 | 0 | 7)

und

F (0 | 12 | 7)

(vgl. Abbildung 1). Das Viereck

ABFE

liegt in der Ebene

L

Weisen Sie nach, dass das Viereck

ABFE

ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Lagebeziehung von Vektoren

\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 19 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 19 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 19 \\ 19 \\ 0 \end{matrix})

\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} = (\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 12 \\ 12 \\ 0 \end{matrix})

\vec{AE} = \vec{E} - \vec{A} = (\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 19 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 7 \\ 0 \\ 7 \end{matrix})

\vec{BF} = \vec{F} - \vec{B} = (\begin{matrix} 0 \\ 12 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 19 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 7 \\ 7 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Vektor

\vec{AB}

ist in Vielfaches vom Vektor

\vec{EF}

. Somit sind die Vektoren parallel zueinander.

\vec{AB} = (\begin{matrix} - 19 \\ 19 \\ 0 \end{matrix}) = \frac{19}{12} \cdot (\begin{matrix} - 12 \\ 12 \\ 0 \end{matrix}) = \frac{19}{12} \cdot \vec{EF}

\Rightarrow

\vec{AB} ∥ \vec{EF}

\Rightarrow

Das Viereck ist ein Trapez

Länge eines Vektors

| \vec{AE} | = | (\begin{matrix} - 7 \\ 0 \\ 7 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 0 \\ - 7 \\ 7 \end{matrix}) | = | \vec{BF} |

\Rightarrow

Das Trapez hat zwei gleich lange Seiten

Schritt einblenden / ausblenden

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Vektoren

Länge eines Vektors

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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