Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A b (3 BE)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden

h_{a} : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ a \\ 0 \end{matrix})

mit

μ \in ℝ

und

a \in ℝ

. Weisen Sie nach, dass

g

und

h_{a}

für jeden Wert von

a

windschief sind.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A b

Lagebeziehung von Geraden

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

h_{a} : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ a \\ 0 \end{matrix})

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Windschiefe Geraden

Zwei Geraden

g

und

h

sind windschief, wenn die Richtungsvektoren kein Vielfaches voneinander sind und sich die Geraden nicht schneiden. Das ist der Fall wenn das Gleichungssystem, das beim Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen entsteht, nicht aufgeht.

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = k \cdot (\begin{matrix} 1 \\ a \\ 0 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} 1 & = & k \\ 0 & = & k a \\ - 1 & = & 0 & Widerspruch \end{matrix}

\Rightarrow

Die Richtungsvektoren sind kein Vielfaches voneinander

\Rightarrow

g

und

h_{a}

sind nicht parallel und nicht identisch

Geraden schneiden:

g \cap h_{a}

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ a \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ a \\ 0 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\begin{matrix} λ & = & μ \\ 1 & = & μ a \\ - λ & = & 0 \end{matrix}

Aus

λ = 0

folgt, dass

μ = 0

und somit in der 2. Gleichung

1 = 0

, was ein Widerspruch ist.

\Rightarrow

g

und

h_{a}

sind zueinander windschief

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Geraden

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