Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A a (2 BE)

Gegeben ist die Gerade

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

mit

λ \in ℝ

Zeigen Sie, dass

g

in der Ebene mit der Gleichung

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2

liegt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A a

Lagebeziehung Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsverktor der Geraden

g

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene:

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 1 + 0 - 1 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Senkrechte Vektoren

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich Null.

Der Normalenvektor steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden

g

. Somit sind Ebene und Gerade parallel zu einander.

\Rightarrow

g

ist parallel zur Ebene

Aufpunkt

(0 | 1 | 1)

der Geraden in die Ebene einsetzen:

0 + 1 + 1 = 2

2 = 2

\Rightarrow

g

liegt in der Ebene

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Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Gerade und Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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