Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3 (7 BE)

Eine Kugel soll eine Bahn hinabrollen, die durch den Graphen

G_{h}

der Funktion

h : x \mapsto {\begin{matrix} g (x) & für 0 \leq x \leq 4 \\ - \frac{1}{8} (x^{2} - 6 x) & für 4 < x \leq 6 \end{matrix}

beschrieben wird. Dabei ist der Graph von

g

das in unten stehender Skizze dargestellte Geradenstück.
Prüfen Sie durch Rechnung, ob die Bahn

G_{h}

an der Stelle

x = 4

einen Sprung bzw. einen Knick aufweist.

Lösung zu Teilaufgabe 3

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Funktionsgleichung

g (x)

an der Skizze ablesen:

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet:

y = m \cdot x + t

m

gibt die Steigung der Geraden an.

t

entspricht dem

y

-Achsenabschnitt.

Die Steigung

m

einer Geraden gibt an, wie steil die Gerade verläuft. Genauer gesagt ist

m

das Seitenverhältnis

m = \frac{y}{x}

im Steigungsdreieck.

In diesem Fall:

m = \frac{- 1}{4} = - \frac{1}{4}

g (x) = - \frac{1}{4} x + 2

Stetigkeit einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Prüfen, ob

h (x)

an der Stelle

x = 4

stetig ist:

Schritt einblenden / ausblenden

Linksseitiger/Rechtsseitiger Grenzwert

Untersucht man eine Funktion

h (x)

auf Stetigkeit an der Stelle

x_{0}

, so müssen folgende Grenzwerte gebildet werden:

\begin{matrix} lim_{x \to x_{0}^{+}} h (x) & (rechtsseitiger Grenzwert) \\ lim_{x \to x_{0}^{-}} h (x) & (linksseitiger Grenzwert) \end{matrix}

Beim rechtsseitigen Grenzwert nähert man sich

x_{0}

von rechts.
Ist

h (x)

abschnittsweise definiert, so muss die Teilfunktion betrachtet werden, die für

x > x_{0}

definiert ist.

Beim linksseitigen Grenzwert nähert man sich

x_{0}

von links.
Ist

h (x)

abschnittsweise definiert, so muss die Teilfunktion betrachtet werden, die für

x < x_{0}

definiert ist.

lim_{x \to 4^{+}} h (x) = lim_{x \to 4^{+}} - \frac{1}{8} (x^{2} - 6 x) = 1

lim_{x \to 4^{-}} h (x) = lim_{x \to 4^{-}} - \frac{1}{4} x + 2 = 1

h (4) = g (4) = - \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 1

Schritt einblenden / ausblenden

Stetigkeit einer Funktion

Eine Funktion

f

ist genau dann an der Stelle

x_{0}

stetig, wenn der Funktionswert an dieser Stelle sowohl mit dem links- als auch mit dem rechtsseitigem Grenzwert identisch ist, d.h. wenn gilt:

f (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)

Der Graph der Funktion

f

hat an der Stelle

x_{0}

keinen Sprung.

\Rightarrow

h

ist an der Stelle

x = 4

stetig

\Rightarrow

G_{h}

hat an der Stelle

x = 4

keinen Sprung

Differenzierbarkeit einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Erste Ableitung

h^{'} (x)

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitung einer abschnittsweise definierten Funktion

Eine abschnittsweise definierte Funktion wird auch abschnittsweise abgeleitet. Man bildet die Ableitungen der Teilfunktionen:

h (x) = {\begin{matrix} f (x) \\ g (x) \end{matrix}

\begin{matrix} für x < x_{0} \\ für x \geq x_{0} \end{matrix}

h^{'} (x) = {\begin{matrix} f^{'} (x) \\ g^{'} (x) \end{matrix}

\begin{matrix} für x < x_{0} \\ für x \geq x_{0} \end{matrix}

Ist

h

an der Stelle

x_{0}

nicht differenzierbar oder ist nicht bekannt, ob

h

bei

x_{0}

differenzierbar ist, muss

x_{0}

bei der Ableitung ausgeschlossen werden:

h^{'} (x) = {\begin{matrix} f^{'} (x) \\ g^{'} (x) \end{matrix}

\begin{matrix} für x < x_{0} \\ für x > x_{0} \end{matrix}

h^{'} (x) = {\begin{matrix} - \frac{1}{4} & für 0 < x < 4 \\ - \frac{1}{8} (2 x - 6) & für 4 < x < 6 \end{matrix}

Prüfen, ob

h (x)

an der Stelle

x = 4

differenzierbar ist:

Schritt einblenden / ausblenden

Linksseitiger/Rechtsseitiger Grenzwert

Untersucht man eine Funktion

h (x)

auf Differenzierbarkeit an der Stelle

x_{0}

, so müssen folgende Grenzwerte gebildet werden:

\begin{matrix} lim_{x \to x_{0}^{+}} h^{'} (x) & (rechtsseitiger Grenzwert) \\ lim_{x \to x_{0}^{-}} h^{'} (x) & (linksseitiger Grenzwert) \end{matrix}

Beim rechtsseitigen Grenzwert nähert man sich

x_{0}

von rechts.
Ist

h^{'} (x)

abschnittsweise definiert, so muss die Teilfunktion betrachtet werden, die für

x > x_{0}

definiert ist.

Beim linksseitigen Grenzwert nähert man sich

x_{0}

von links.
Ist

h^{'} (x)

abschnittsweise definiert, so muss die Teilfunktion betrachtet werden, die für

x < x_{0}

definiert ist.

lim_{x \to 4^{+}} h^{'} (x) = lim_{x \to 4^{+}} - \frac{1}{8} (2 x - 6) = - \frac{1}{4}

lim_{x \to 4^{-}} h^{'} (x) = lim_{x \to 4^{-}} - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}

Schritt einblenden / ausblenden

Differenzierbarkeit einer Funktion

Eine Funktion

f

ist genau dann in

x_{0}

differenzierbar, wenn gilt:

1.

G_{f}

ist in

x_{0}

stetig

2.

lim_{x \to x_{0}^{-}} f^{'} (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f^{'} (x)

Anders ausgedrückt:

Eine Funktion

f

ist genau dann in

x_{0}

differenzierbar, wenn es an dieser Stelle eine eindeutige Tangente an den Graphen gibt.
Dies ist nur der Fall, wenn der Graph an dieser Stelle weder einen Sprung noch einen Knick aufweist.

\Rightarrow

h

ist an der Stelle

x = 4

differenzierbar

\Rightarrow

G_{h}

hat an der Stelle

x = 4

keinen Knick

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1.1

Teilaufgabe 1.2

Teilaufgabe 1.3

Teilaufgabe 1.4

Teilaufgabe 1.5

Teilaufgabe 1.6

Teilaufgabe 1.7

Teilaufgabe 2.1

Teilaufgabe 2.2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4.1

Teilaufgabe 4.2

Teilaufgabe 4.3

Teilaufgabe 4.4

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Stetigkeit einer Funktion

Differenzierbarkeit einer Funktion

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