Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.6 (4 BE)

Die Graphen

G_{f}

und

G_{t}

schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.

Lösung zu Teilaufgabe 1.6

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Verläuft der Graph einer Funktion

f

oberhalb dem Graphen einer Funktion

g

, so ist der Inhalt eines Flächenstücks zwischen den zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

A = \int_{0}^{4} [f (x) - t (x)] dx

A = \int_{0}^{4} [- \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8) - (\frac{1}{2} x - 2)] dx

A = \int_{0}^{4} (- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} + \frac{1}{2} x - 2 - \frac{1}{2} x + 2) dx

A = \int_{0}^{4} (- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2}) dx

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Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2}

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2}) dx = - \frac{1}{4} \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} = - \frac{1}{16} x^{4} + \frac{x^{3}}{3}

A = {[- \frac{1}{16} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{4}

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = - \frac{1}{16} 4^{4} + \frac{1}{3} 4^{3} - 0

A = \frac{16}{3}

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Themen dieser Aufgabe:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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