Abitur 2014 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

Gegeben ist die reelle Funktion

f : x \mapsto - \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8)

mit der Definitionsmenge

D_{f} = ℝ .

Teilaufgabe 1.1 (7 BE)

Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion

f

und deren Vielfachheit. Begründen Sie dann ohne weitere Rechnung, dass in den Intervallen

] - \sqrt{2}; \sqrt{2} [

sowie

] \sqrt{2}; 4 [

jeweils eine Extremstelle liegt. Geben Sie auch deren Art an.

Teilaufgabe 1.2 (5 BE)

Berechnen Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen

G_{f}

. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Teilaufgabe 1.3 (4 BE)

Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph

G_{f}

rechts- bzw. linksgekrümmt ist, sowie die Koordinaten des Wendepunkts.

Teilaufgabe 1.4 (4 BE)

Zeichnen Sie den Graphen

G_{f}

im Bereich

- 2 \leq x \leq 4, 5

, auch unter Verwendung vorliegender Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem.

Teilaufgabe 1.5 (4 BE)

Die Gerade

G_{t}

enthält die Schnittpunkte des Graphen

G_{f}

mit der

y

-Achse und mit der

x

-Achse bei

x = 4

. Zeigen Sie, dass die Gerade

G_{t}

Tangente an

G_{f}

ist und zeichnen Sie

G_{t}

in das vorhandene Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 1.6 (4 BE)

Die Graphen

G_{f}

und

G_{t}

schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.

Teilaufgabe 1.7 (4 BE)

Gegeben ist zusätzlich die Funktion

p

mit

D_{p} = ℝ

und es gilt:

f (x) - p (x) = - \frac{1}{4} (x^{3} - 5 x^{2})

.
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion

f - p

mit deren Vielfachheit und erläutern Sie die geometrische Bedeutung dieser Stellen für die Graphen der beiden Funktionen.

Gegeben sind die reellen Funktionen

k_{a} : x \mapsto \frac{a}{4} [x^{3} - (2 a + 2) x^{2} + (8 a - 10) x + 8]

mit

D_{k_{a}} = ℝ

und

a \in ℝ^{+}

Teilaufgabe 2.1 (4 BE)

Berechnen Sie den Wert des Parameters

a

so, dass der Graph der Funktion

k_{a}

bei

x = 4

die

x

-Achse als Tangente besitzt.

Teilaufgabe 2.2 (2 BE)

Untersuchen Sie, welcher Zusammenhang zwischen den Graphen der Funktionen

f

(aus 1.0) und

k_{1}

(

a = 1

) besteht.

Teilaufgabe 3 (7 BE)

Eine Kugel soll eine Bahn hinabrollen, die durch den Graphen

G_{h}

der Funktion

h : x \mapsto {\begin{matrix} g (x) & für 0 \leq x \leq 4 \\ - \frac{1}{8} (x^{2} - 6 x) & für 4 < x \leq 6 \end{matrix}

beschrieben wird. Dabei ist der Graph von

g

das in unten stehender Skizze dargestellte Geradenstück.
Prüfen Sie durch Rechnung, ob die Bahn

G_{h}

an der Stelle

x = 4

einen Sprung bzw. einen Knick aufweist.

Der Querschnitt eines Abflusskanals ist begrenzt durch ein Rechteck und einen Halbkreis mit Radius

r

. Alle Angaben sind in Meter. Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet.

Teilaufgabe 4.1 (5 BE)

Zeigen Sie, dass sich die Maßzahl

A (x)

der Querschnittfläche des Kanals in Abhängigkeit von

x

durch

A (x) = (2 + 0, 5 π) x^{2} - 2 π x + 2 π

darstellen lässt.

Teilaufgabe 4.2 (3 BE)

Die Strecken

[A B]

[B C]

[D E]

und

[E F]

besitzen in der Summe höchstens eine Länge von

12

m

. Weisen Sie nach, dass dann für die sinnvolle maximale Definitionsmenge

D_{A}

der Funktion

A : x \mapsto A (x)

gilt:

D_{A} =] 2; 4]

Teilaufgabe 4.3 (4 BE)

Bestimmen Sie

x

so, dass die zugehörige Querschnittsfläche maximalen Inhalt annimmt.

Teilaufgabe 4.4 (3 BE)

Nun sei

x = 4

. Der Kanal ist bis

1 m

unter der Oberkante gefüllt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der Querschnittsfläche des Kanals ausgelastet sind.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1.1

Teilaufgabe 1.2

Teilaufgabe 1.3

Teilaufgabe 1.4

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Teilaufgabe 1.6

Teilaufgabe 1.7

Teilaufgabe 2.1

Teilaufgabe 2.2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4.1

Teilaufgabe 4.2

Teilaufgabe 4.3

Teilaufgabe 4.4

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