Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.1 (7 BE)

Gegeben ist die reelle Funktion

f : x \mapsto - \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8)

mit der Definitionsmenge

D_{f} = ℝ .

Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion

f

und deren Vielfachheit. Begründen Sie dann ohne weitere Rechnung, dass in den Intervallen

] - \sqrt{2}; \sqrt{2} [

sowie

] \sqrt{2}; 4 [

jeweils eine Extremstelle liegt. Geben Sie auch deren Art an.

Lösung zu Teilaufgabe 1.1

Nullstellen einer Funktion

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f (x) = - \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8)

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen

Der Ansatz, um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion

f

mit der

x

-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

f (x) = 0

\Leftrightarrow

- \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8) = 0

x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Lösen einer Gleichung dritten Grades

Das Lösen einer Gleichung dritten Grades (auf der rechten Seite muss die Null stehen) setzt voraus, dass bereits eine Lösung bekannt ist. Ist dies nicht der Fall, so muss eine Lösung durch Ausprobieren geraten werden (für

x

werden die Werte

\pm 1

\pm 2

\pm 3

\pm 4

, etc. eingesetzt).

Hat man eine Lösung gefunden, so teilt man mittels Polynomdivision den Term links des Gleichheitszeichens durch die bekannte Lösung.

Erste Nullstelle durch "Ausprobieren":

x_{1}^{N} = 4

Polynomdivision durchführen:

(x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8) : (x - 4)

Schritt einblenden / ausblenden

Polynomdivision

Polynome lassen sich in Summenschreibweise oder auch faktorisiert schreiben. Das Polynom

x^{2} + x - 2

lässt sich beispielsweise in Faktoren folgendermaßen schreiben:

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 1

sind dabei die Nullstellen des Polynoms.

Bei einer Polynomdivision ist bereits eine Nullstelle bekannt. Wir haben zum Beispiel durch Rechnung oder durch Ausprobieren herausgefunden, dass

x = 1

eine Nullstelle dieses Polynoms ist. Die zweite noch nicht bekannte Lösung, erhalten wir durch Polynomdivision.

x^{2} - 2 = 0

\Rightarrow

x_{2, 3}^{N} = \pm \sqrt{2}

Vielfachheit von Nullstellen

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f (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x - 4) \cdot (x + \sqrt{2}) \cdot (x - \sqrt{2})

x_{1}^{N} = 4

ist einfache Nullstelle.

x_{2}^{N} = - \sqrt{2}

ist einfache Nullstelle.

x_{3}^{N} = \sqrt{2}

ist einfache Nullstelle.

Art von Extrempunkten ermitteln

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Begründung mit Hilfe einer Skizze:

Der charakteristische Verlauf der Funktion ist von "links oben" nach "rechts unten". Der Graph der Funktion schneidet die

x

-Achse an den Stellen

x = - \sqrt{2}

x = \sqrt{2}

und

x = 4

.

Zwischen

- \sqrt{2}

und

\sqrt{2}

liegt somit ein Minimum, zwischen

\sqrt{2}

und

4

ein Maximum.

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Themen dieser Aufgabe:

Nullstellen einer Funktion

Vielfachheit von Nullstellen

Art von Extrempunkten ermitteln

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