Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.3 (4 BE)

Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph

G_{f}

rechts- bzw. linksgekrümmt ist, sowie die Koordinaten des Wendepunkts.

Lösung zu Teilaufgabe 1.3

Krümmungsverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Mögliche Wendestelle(n) bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

erfüllt sein:

f^{''} (x^{WP}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{''} (x) = 0

f^{''} (x) = 0

\Leftrightarrow

- \frac{1}{4} (6 x - 8) = 0

6 x - 8 = 0

\Rightarrow

x^{WP} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an der Stelle

x = \frac{4}{3}

mithilfe einer Skizze bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Steigung einer Geraden

Der Graph der zweiten Ableitung

f^{''} (x) = - \frac{1}{4} (6 x - 8) = - \frac{3}{2} x + 2

ist eine Gerade mit negativer Steigung (

m = - \frac{3}{2}

). Sie schneidet die

x

-Achse an der Stelle

x^{WP} = \frac{4}{3}

Skizze von

f^{''}

Schritt einblenden / ausblenden

Funktionswert

Dort wo der Graph oberhalb der

x

-Achse liegt, hat die Funktion, also in diesem Fall die zweite Ableitung, positive Funktionswerte und somit positives Vorzeichen.

Dort wo der Graph unterhalb der

x

-Achse liegt, hat die Funktion negative Funktionswerte und somit negatives Vorzeichen.

f^{''} (x) > 0

für

x \in] - \infty; \frac{4}{3} [

f^{''} (x) < 0

für

x \in] \frac{4}{3}; \infty [

Schritt einblenden / ausblenden

Krümmungsverhalten einer Funktion

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt Aufschluss über das Krümmungsverhalten des Graphen.

Es gilt:

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

negativ auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) < 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

im Intervall

[a; b]

rechtsgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

positiv auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) > 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

im Intervall

[a; b]

linksgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

\Rightarrow

G_{f}

ist linksgekrümmt für

x \in] - \infty; \frac{4}{3}]

\Rightarrow

G_{f}

ist rechtsgekrümmt für

x \in [\frac{4}{3}; \infty [

Wendepunkt ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Lage des Wendepunkts bestimmen:

y^{WP} = f (x^{WP}) = f (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{27}

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

Da sich an der Stelle

x = \frac{4}{3}

das Krümmungsverhalten ändert, ist

WP (\frac{4}{3} | - \frac{4}{27})

ein Wendepunkt.

Alternative Lösung

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Wendepunkt ermitteln mittels dritter Ableitung:

Lage des Wendepunkts:

y^{WP} = f (x^{WP}) = f (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{27}

Dritte Ableitung:

f^{'''} (x) = - \frac{6}{4}

Wert der dritten Ableitung an der Stelle

x^{WP}

f^{'''} (x^{WP}) = f^{'''} (\frac{4}{3}) = - \frac{6}{4} \neq 0

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und ist die dritte Ableitung ungleich Null an dieser Stelle, d.h.

f^{'''} (x^{WP}) \neq 0

, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

\Rightarrow

WP (\frac{4}{3} | - \frac{4}{27})

ist ein Wendepunkt

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Teilaufgabe 4.4

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Themen dieser Aufgabe:

Krümmungsverhalten einer Funktion

Wendepunkt ermitteln

Alternative Lösung

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