Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Stochastik S II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2 (6 BE)

Berechnen Sie ebenfalls auf 4 Nachkommastellen gerundet die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bei zweimaligem Werfen der Kugel
a) mindestens einmal eine Zahl aus dem ersten Dutzend, das heißt von

1

bis

12

, erscheint.
b) keine Zahl aus dem ersten Dutzend zweimal erscheint.

Lösung zu Teilaufgabe 2

Binomialverteilung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Wahrscheinlichkeit für eine Zahl aus dem ersten Dutzend:

p = \frac{12}{37}

Interpretation als Bernoulli-Kette:

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Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

E_{a}

: "Es erscheint mindestens einmal eine Zahl aus dem ersten Dutzend."

n = 2

(

2

mal wird die Kugel geworfen)

p = \frac{12}{37}

(Wahrscheinlichkeit für eine Zahl aus dem ersten Dutzend)

k \geq 1

(mindestens

1

Zahl aus dem ersten Dutzend soll geworfen werden)

P (E_{a}) = P_{\frac{12}{37}}^{2} (Z \geq 1)

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Gegenereignis

Wahrscheinlichkeiten des Typs

P (mind. 1 Treffer)

können meist leicht über das Gegenereignis bestimmt werden.

P (mind. 1 Treffer) = 1 - P (kein Treffer)

= 1 - P_{\frac{12}{37}}^{2} (Z = 0)

= 1 - (\binom{2}{0}) \cdot {(\frac{12}{37})}^{0} \cdot {(\frac{25}{37})}^{2} \approx 0, 5435

E_{b}

: "Keine Zahl aus dem ersten Dutzend erscheint zweimal."

Berechnung über das Gegenereignis:

\bar{E_{b}}

: "Es erscheint bei beiden Würfen dieselbe Zahl aus dem ersten Dutzend."

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1. Pfadregel

Für das Ereignis

\bar{E_{b}}

müssen beide Würfe dieselbe Zahl aus dem ersten Dutzend zeigen.

Für den ersten Wurf gilt lediglich, dass es sich um eine Zahl aus dem ersten Dutzend handeln muss:

P ("Zahl aus dem ersten Dutzend") = \frac{12}{37}

Für den zweiten Wurf gilt, dass genau dieselbe Zahl erscheinen muss wie beim ersten Wurf. Von den insgesamt

37

Zahlen muss also eine ganz bestimmte Zahl erscheinen:

P ("dieselbe Zahl wie beim 1. Wurf") = \frac{1}{37}

Mit der ersten Pfadregel ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

\bar{E_{b}}

P (\bar{E_{b}}) = \frac{12}{37} \cdot \frac{1}{37}

P (\bar{E_{b}}) = \frac{12}{37} \cdot \frac{1}{37} = \frac{12}{1369}

P (E_{b}) = 1 - P (\bar{E_{b}}) = 1 - \frac{12}{1369} \approx 0, 9912

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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