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Abitur 2009 Mathematik NT Stochastik S II
Beim Glücksspiel "Roulette" verwendet man eine drehbare Scheibe mit abwechselnd roten und schwarzen Nummernfächern sowie einem . (grünen) Fach für die Null. Die Gewinnzahl wird mit Hilfe einer Kugel ermittelt, die nach Drehung der Scheibe in einem Nummernfach liegen bleibt, wobei alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen werden können.
Im Folgenden verstehen wir unter der Farbe einer Zahl die Farbe des zugehörigen Nummernfaches, es gibt also grüne Zahl sowie schwarze und rote Zahlen.
Im Folgenden verstehen wir unter der Farbe einer Zahl die Farbe des zugehörigen Nummernfaches, es gibt also grüne Zahl sowie schwarze und rote Zahlen.
Teilaufgabe 1 (7 BE)
Berechnen Sie auf 4 Nachkommastellen gerundet die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bei siebenmaligem Werfen der Kugel
a) genau mal eine rote Zahl erscheint.
b) höchstens mal eine rote Zahl erscheint.
c) genau beim ersten, dritten und fünften Wurf eine rote Zahl erscheint.
a) genau mal eine rote Zahl erscheint.
b) höchstens mal eine rote Zahl erscheint.
c) genau beim ersten, dritten und fünften Wurf eine rote Zahl erscheint.
Teilaufgabe 2 (6 BE)
Berechnen Sie ebenfalls auf 4 Nachkommastellen gerundet die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bei zweimaligem Werfen der Kugel
a) mindestens einmal eine Zahl aus dem ersten Dutzend, das heißt von bis , erscheint.
b) keine Zahl aus dem ersten Dutzend zweimal erscheint.
a) mindestens einmal eine Zahl aus dem ersten Dutzend, das heißt von bis , erscheint.
b) keine Zahl aus dem ersten Dutzend zweimal erscheint.
Von den Zahlen des ersten Dutzends sind genau sechs rot und sechs schwarz gefärbt. Folgende Ereignisse werden betrachtet:
: "Eine Zahl aus dem ersten Dutzend erscheint."
: "Eine rote Zahl erscheint."
: "Eine Zahl aus dem ersten Dutzend erscheint."
: "Eine rote Zahl erscheint."
Teilaufgabe 3.1 (6 BE)
Erstellen Sie in Bezug auf und eine Vierfeldertafel und begründen Sie rechnerisch, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind.
Teilaufgabe 3.2 (2 BE)
Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit: .
Lord Grips setzt immer nur auf das Ereignis „Zahl aus dem ersten Dutzend" das heißt, seine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt bei jedem Spiel . Lord Grips setzt nun dreimal nacheinander den gleichen Einsatz auf "Zahl aus dem ersten Dutzend". Falls er in einem Spiel gewinnt beträgt sein Reingewinn , andernfalls geht sein Einsatz verloren (). Die Zufallsgröße gibt den Gesamtgewinn für alle Spiele in Euro an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße lässt sich mit Hilfe folgender Tabelle angeben:
Teilaufgabe 4.1 (7 BE)
Übernehmen Sie die Tabelle und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Zufallswerte z.B. mit Hilfe eines Baumdiagramms auf 4 Nachkommastellen.
Teilaufgabe 4.2 (4 BE)
Setzen Sie nun und berechnen Sie den Erwartungswert sowie die zugehörige Standardabweichung.
Im Folgenden werden Spiele, bei denen die erscheint, außer Acht gelassen. Dann sollte das Ereignis "Zahl aus dem ersten Dutzend" im Schnitt in einem Drittel aller Spiele eintreten. Lord Grips vermutet, dass dieses Ereignis bei einem bestimmten Roulette-Tisch im Casino von Nepphausen mit zu geringer Häufigkeit erscheint (Gegenhypothese). Daher beobachtet er Kugelwürfe in Hinblick auf "erstes Dutzend".
Teilaufgabe 5.1 (5 BE)
Geben Sie zu diesem Test die Testgröße sowie Null- und Gegenhypothese an und ermitteln Sie deren größtmöglichen Ablehnungsbereich, wenn das Signifikanzniveau betragen soll.
Teilaufgabe 5.2 (3 BE)
Erklären Sie, worin bei diesem Beispiel der Fehler 2. Art besteht und begründen Sie kurz, weshalb man dessen Wahrscheinlichkeit hier nicht berechnen kann.
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