Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Stochastik S II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1 (7 BE)

Beim Glücksspiel "Roulette" verwendet man eine drehbare Scheibe mit

36

abwechselnd roten und schwarzen Nummernfächern sowie einem

37

. (grünen) Fach für die Null. Die Gewinnzahl wird mit Hilfe einer Kugel ermittelt, die nach Drehung der Scheibe in einem Nummernfach liegen bleibt, wobei alle

37

Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen werden können.
Im Folgenden verstehen wir unter der Farbe einer Zahl die Farbe des zugehörigen Nummernfaches, es gibt also

1

grüne Zahl sowie

18

schwarze und

18

rote Zahlen.

Berechnen Sie auf 4 Nachkommastellen gerundet die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bei siebenmaligem Werfen der Kugel

a) genau

5

mal eine rote Zahl erscheint.
b) höchstens

5

mal eine rote Zahl erscheint.
c) genau beim ersten, dritten und fünften Wurf eine rote Zahl erscheint.

Lösung zu Teilaufgabe 1

Binomialverteilung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Wahrscheinlichkeit für eine rote Zahl:

p = \frac{18}{37}

Interpretation als Bernoulli-Kette:

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

E_{a}

: "Es erscheint genau

5

mal eine rote Zahl."

n = 7

(

7

mal wird die Kugel geworfen)

p = \frac{18}{37}

(Wahrscheinlichkeit für eine rote Zahl)

k = 5

(

5

rote Zahlen sollen geworfen werden)

P (E_{a}) = P_{\frac{18}{37}}^{7} (Z = 5) = (\binom{7}{5}) \cdot {(\frac{18}{37})}^{5} \cdot {(\frac{19}{37})}^{2} \approx 0, 1509

E_{b}

: "Es erscheint höchstens

5

mal eine rote Zahl."

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

P (E_{b}) = P_{\frac{18}{37}}^{7} (Z \leq 5)

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Um den Rechenaufwand gering zu halten betrachtet man das Gegenereignis:

P(höchstens k Treffer) = 1 - P(mehr als k Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \leq k) = 1 - P (Z > k)

bzw.

P (Z \leq k) = 1 - P (Z \geq k + 1)

Angewendet auf diese Aufgabenstellung:

P(höchstens 5 mal eine rote Zahl) = 1 - P(mehr als 5 mal eine rote Zahl)= 1 - P(mindestens 6 mal eine rote Zahl)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \leq 5) = 1 - P (Z \geq 6)

= 1 - P_{\frac{18}{37}}^{7} (Z \geq 6) = 1 - (P_{\frac{18}{37}}^{7} (Z = 6) + P_{\frac{18}{37}}^{7} (Z = 7))

= 1 - ((\binom{7}{6}) \cdot {(\frac{18}{37})}^{6} \cdot {(\frac{19}{37})}^{1} + (\binom{7}{7}) \cdot {(\frac{18}{37})}^{7} \cdot {(\frac{19}{37})}^{0})

= 1 - (0, 0477 + 0, 0064) = 0, 9459

E_{c}

: "Es erscheint genau beim ersten, dritten und fünften Wurf eine rote Zahl."

Schritt einblenden / ausblenden

1. Pfadregel

Das Ereignis

E_{c}

kann in Mengenschreibweise folgendermaßen geschrieben werden (Die Ergebnisse der sieben Würfe werden einfach hintereinander geschrieben):

E_{c} = {R \bar{R} R \bar{R} R \bar{R} \bar{R}}

P (R) = \frac{18}{37}

P (\bar{R}) = \frac{19}{37}

Nach der 1. Pfadregel ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit:

P (E_{c}) = \underset{1. Wurf}{\underset{︸}{\frac{18}{37}}} \cdot \frac{19}{37} \cdot \underset{3. Wurf}{\underset{︸}{\frac{18}{37}}} \cdot \frac{19}{37} \cdot \underset{5. Wurf}{\underset{︸}{\frac{18}{37}}} \cdot \frac{19}{37} \cdot \frac{19}{37} = {(\frac{18}{37})}^{3} \cdot {(\frac{19}{37})}^{4}

P (E_{c}) = {(\frac{18}{37})}^{3} \cdot {(\frac{19}{37})}^{4} \approx 0, 0080

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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