Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4b (6 BE)

Bestimmen Sie die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion

f

aus Teilaufgabe 4a. Interpretieren Sie jede dieser Nullstellen im Anwendungszusammenhang.

Lösung zu Teilaufgabe 4b

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

f (p) = 15 \cdot (p^{6} - 2 p^{5} + p^{4})

Erste Ableitung bestimmen:

f^{'} (p) = {[15 \cdot (p^{6} - 2 p^{5} + p^{4})]}^{'}

= 15 \cdot (6 p^{5} - 10 p^{4} + 4 p^{3})

= 15 \cdot 2 p^{3} \cdot (3 p^{2} - 5 p + 2)

Nullstellen einer Funktion

Erste Ableitung Null setzen:

f^{'} (p) = 0

\Leftrightarrow 15 \cdot 2 p^{3} \cdot (3 p^{2} - 5 p + 2) = 0

\Rightarrow 15 \cdot 2 p^{3} = 0 \Rightarrow p_{1} = 0

\Rightarrow 3 p^{2} - 5 p + 2 = 0 \Rightarrow p_{2, 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6} \Rightarrow p_{2} = \frac{2}{3}, p_{3} = 1

\Rightarrow

Die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion

f

lauten:

p_{1} = 0, p_{2} = \frac{2}{3}

und

p_{3} = 1

Anwendungszusammenhang

Interpretation:

Die Funktion

f

hat an der Stelle

p_{1} = 0

und

p_{3} = 1

eine Nullstelle und jeweils ein Minimum. An der Stelle

p_{3} = \frac{2}{3}

hat sie ein Maximum.

Bemerkung:

p_{1} = 0

bedeutet, dass das Unternehmen nie ein Gutschein beifügt.

p_{3} = 1

bedeutet, dass das Unternehmen immer ein Gutschein beifügt.

In beiden Fällen würde das Ereignis aus Teilaufgabe 4a) nie stattfinden.

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Teilaufgabe 4a

Teilaufgabe 4b

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Themen dieser Aufgabe:

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

Nullstellen einer Funktion

Anwendungszusammenhang

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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