Lösung Abitur Bayern 2024 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (4 BE)

Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade

OS

die Ebene

E_{k}

schneidet, unabhängig von

k

ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Winkel zwischen Gerade und Ebene

\vec{O S} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

\vec{n_{E_{k}}} = (\begin{matrix} 4 k \\ 4 \sqrt{1 - k^{2}} \\ 3 \end{matrix})

\frac{| (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 4 k \\ 4 \sqrt{1 - k^{2}} \\ 3 \end{matrix}), |}{| (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 4 k \\ 4 \sqrt{1 - k^{2}} \\ 3 \end{matrix}) |} = \frac{0 + 0 + 12}{\sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt{16 k^{2} + 16 \cdot (1 - k^{2}) + 9}} =

= \frac{12}{4 \cdot \sqrt{16 k^{2} + 16 - 16 k^{2} + 9}} = \frac{12}{4 \cdot \sqrt{25}} = \frac{3}{5}

\Rightarrow

der Winkel ist unabhängig von

k

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Der Sinus des Winkels

α

zwischen einer Geraden

g

und einer Ebenen

E

ist gegeben durch:

\sin α = \frac{| \vec{R V_{g}} \circ \vec{n_{E}} |}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

wobei

\vec{R V_{g}}

der Richtungsvektor der Geraden und

\vec{n_{E}}

der Normalenvektor der Ebene ist.

(Anmerkung: Man verwendet die Formel gerne ohne Betragsstriche im Zähler; also

\sin α = \frac{\vec{R V_{g}} \circ \vec{n_{E}}}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

.

Aber mit Betragsstrichen wird immer der spitze Winkel bestimmt.)

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen Gerade und Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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