Abitur 2024 Mathematik Analytische Geometrie VI

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung).
Die Eckpunkte

A (1 | 2 | 1)

B

C (- 3 | - 6 | 9)

und

D

des Oktaeders liegen in der Ebene

H

mit der Gleichung

2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - 6 = 0

Teilaufgabe Teil A a (2 BE)

Weisen Sie nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

Teilaufgabe Teil A b (3 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in

H

liegen.

Abbildung 1 zeigt die Pyramide

ABCDS

mit den Eckpunkten

A (- 3 | - 3 | 0)

B (3 | - 3 | 0)

C (3 | 3 | 0)

D (- 3 | 3 | 0)

und

S (0 | 0 | 4)

sowie den Punkt

O (0 | 0 | 0)

, der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche

CDS

der Pyramide liegt in der Ebene

E

Teilaufgabe Teil B a (4 BE)

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide.

Teilaufgabe Teil B b (3 BE)

Genau eine der folgenden Gleichungen (1) bis (3) beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Geben Sie diese Gleichung an und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist.

(1)

x_{1} - x_{3} = 0

(2)

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4

(3)

x_{1} + x_{2} = 0

Teilaufgabe Teil B c (3 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Koordinatenform.

(zur Kontrolle:

4 x_{2} + 3 x_{3} - 12 = 0

)

Teilaufgabe Teil B d (5 BE)

Es gibt einen Punkt

P (0 | 0 | p)

, der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von

p

bestimmen:

I

\vec{Q} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ p \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

II

4 \cdot 4 t + 3 \cdot (p + 3 t) - 12 = 0

III

| \vec{PQ} | = p

Erläutern Sie die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von

p

zugrunde liegen.

Die Ebene E gehört zur Schar der Ebenen

E_{k} : 4 k \cdot x_{1} + 4 \sqrt{1 - k^{2}} \cdot x_{2} + 3 \cdot x_{3} - 12 = 0

mit

k \in [- 1; 1]

.

Die Seitenfläche

ADS

der Pyramide liegt in der Ebene

E_{- 1}

der Schar, die Seitenfläche

BCS

in der Ebene

E_{1}

Teilaufgabe Teil B e (1 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt

S

in allen Ebenen der Schar enthalten ist.

Teilaufgabe Teil B f (4 BE)

Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade

OS

die Ebene

E_{k}

schneidet, unabhängig von

k

ist.

Jede Ebene

E_{k}

der Schar schneidet die

x_{1} x_{2}

-Ebene in einer Gerade

g_{k}

. Mit

R_{k}

wird jeweils derjenige Punkt auf

g_{k}

bezeichnet, der von

O

den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind

g_{k}

und

R_{k}

beispielhaft für eine Ebene

E_{k}

der Schar dargestellt.

Teilaufgabe Teil B g (2 BE)

Zeichnen Sie die Punkte

R_{- 1}

und

R_{1}

in Abbildung 2 ein.

Teilaufgabe Teil B h (3 BE)

Durchläuft

k

alle Werte von −1 bis 1, dann dreht sich das Dreieck

{OR}_{k} S

um die Strecke

[OS]

. Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Teilaufgabe Teil B h

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