Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2e (5 BE)

Um einen Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube berechnen zu können, wird

G_{f}

im Bereich

- 4 \leq x \leq 4

durch vier Kreisbögen angenähert, die nahtlos ineinander übergehen und zueinander kongruent sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich

0 \leq x \leq 2

und ist Teil des Kreises mit Mittelpunkt

M (0 | - 1)

und Radius 3. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermitteln Sie damit den gesuchten Näherungswert.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2e

Mittelpunktswinkel bestimmen

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Sinus eines Winkels

Der Sinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Hier wird das rechtwinklige Dreieck

MAB

betrachtet.
Die Länge der Hypotenuse entspricht dem Radius des Kreises um den Mittelpunkt M.

\sin φ = \frac{2}{3}

\Rightarrow

φ = \sin^{- 1} (\frac{2}{3}) \approx 41, 8^{\circ}

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Bogenlänge

Die Länge eines Bogens

b

ist gegeben durch die Formel

b = \frac{α}{360^{\circ}} \cdot 2 r π

Dabei ist

r

der Radius des Kreises, auf dem der Bogen liegt und

α

der Winkel, der den Kreissektor aufspannt.

α

heißt auch Mittelpunktswinkel.

Da hier die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite durch 4 solche Kreisbögen angenähert werden kann, entspricht die Gesamtlänge

4 \cdot \frac{41, 8^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 π \cdot 3

Länge:

4 \cdot \frac{41, 8^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 π \cdot 3 \approx 8, 75 m

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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