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Abitur 2023 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Funktion f : x ↦ ln ( x - 3 ) mit maximaler Definitionsmenge D und Ableitungsfunktion f ′ .
Geben Sie D sowie die Nullstelle von f an.

Ermitteln Sie diejenige Stelle x ∈ D , für die f ′ ( x ) = 2 gilt.

Gegeben ist die in ℝ ∖ { 0 } definierte Funktion g : x ↦ 1 x 2 - 1 .
Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von g sowie die Wertemenge von g an.

Berechnen Sie den Wert des Integrals ∫ 1 2 2 g ( x )  dx .

Eine in ℝ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion f mit erster Ableitungsfunktion f ′ und zweiter Ableitungsfunktion f ′ ′ hat folgende Eigenschaften:
  • f hat bei x 1 eine Nullstelle.

  • Es gilt f ′ ( x 2 ) = 0 und f ′ ′ ( x 2 ) ≠ 0 .

  • f ′ hat ein lokales Minimum an der Stelle x 3 .

Abbildung 1 zeigt die Positionen von x 1 , x 2 und x 3 .

Begründen Sie, dass der Grad von f mindestens 3 ist.

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von f .

Abbildung 2 zeigt den Graphen der in ℝ definierten Funktion g , dessen einzige Extrempunkte ( - 1 | 1 ) und ( 0 | 0 ) sind, sowie den Punkt P .


Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in ℝ definierten Funktion h mit h ( x ) = - g ( x - 3 ) an.

Der Graph einer Stammfunktion von g verläuft durch P . Skizzieren Sie diesen Graphen in Abbildung 2.

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ 2 e - 1 8 x 2 . Abbildung 3 zeigt den Graphen G f von f , der die x-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G f mit der y-Achse und weisen Sie rechnerisch nach, dass G f symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

Der Punkt W ( - 2 | 2 e - 1 2 ) ist einer der beiden Wendepunkte von G f . Die Tangente an G f im Punkt W wird mit w bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von w und berechnen Sie die Stelle, an der w die x-Achse schneidet.

(zur Kontrolle: f ′ ( x ) = - 1 2 x ⋅ e - 1 8 x 2 )

Betrachtet wird für jeden Wert c ∈ ℝ + das Rechteck mit den Eckpunkten P ( - c | 0 ) , Q ( c | 0 ) , R ( c | f ( c ) ) und S .
Zeichnen Sie für c = 2 das Rechteck PQRS in Abbildung 3 ein.

Berechnen Sie denjenigen Wert von c , für den QR ¯ = 1 gilt.

Geben Sie in Abhängigkeit von c die Seitenlängen des Rechtecks PQRS an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term A ( c ) = 4 c ⋅ e - 1 8 c 2 gegeben ist.

Es gibt einen Wert von c , für den der Flächeninhalt A ( c ) des Rechtecks PQRS maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von c .

Betrachtet werden für k ∈ ℝ die in ] - ∞ ; 0 ] definierten Funktionen f k : x ↦ f ( x ) + k . Somit gilt f 0 ( x ) = f ( x ) , wobei sich f 0 und f im Definitionsbereich unterscheiden.
Begründen Sie mithilfe der ersten Ableitung von f k , dass f k für jeden Wert von k umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Graphen der Umkehrfunktion von f 0 .

Geben Sie alle Werte von k an, für die der Graph von f k und der Graph der Umkehrfunktion von f k keinen gemeinsamen Punkt haben.



Abbildung 4 zeigt ein Haus mit einer Dachgaube, deren Vorderseite schematisch in Abbildung 5 dargestellt ist. Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph G f der Funktion f aus Teil B Teilaufgabe 1, die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen x = - 4 und x = 4 einschließen. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Geben Sie die Breite und die Höhe der Vorderseite der Dachgaube an.

In der Vorderseite der Dachgaube befindet sich ein Fenster. Dem Fenster entspricht im Modell das Flächenstück, das der Graph der Funktion g mit g ( x ) = a x 4 + b und geeigneten Werten a , b ∈ ℝ mit der x-Achse einschließt (vgl. Abbildung 5).
Begründen Sie, dass a negativ und b positiv ist.

Um den Flächeninhalt der Vorderseite der Dachgaube zu ermitteln, wird eine Stammfunktion F von f betrachtet.
Einer der Graphen I, II und III ist der Graph von F . Begründen Sie, dass dies Graph I ist, indem Sie jeweils einen Grund dafür angeben, dass Graph II und Graph III nicht infrage kommen.


Bestimmen Sie nun mithilfe des Graphen von F aus Teil B Teilaufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).
Beschreiben Sie unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von a rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von 1,50 m der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 5 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt 6 m 2 hat.

Um einen Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube berechnen zu können, wird G f im Bereich - 4 ≤ x ≤ 4 durch vier Kreisbögen angenähert, die nahtlos ineinander übergehen und zueinander kongruent sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich 0 ≤ x ≤ 2 und ist Teil des Kreises mit Mittelpunkt M ( 0 | - 1 ) und Radius 3. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermitteln Sie damit den gesuchten Näherungswert.

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