Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1b (5 BE)

Der Punkt

W (- 2 | 2 e^{- \frac{1}{2}})

ist einer der beiden Wendepunkte von

G_{f}

. Die Tangente an

G_{f}

im Punkt

W

wird mit

w

bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von

w

und berechnen Sie die Stelle, an der

w

die x-Achse schneidet.

(zur Kontrolle:

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} x \cdot e^{- \frac{1}{8} x^{2}}

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1b

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f (x) = 2 e^{- \frac{1}{8} \cdot x^{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel:

f (x) = u (v (x))

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Kettenregel für Exponentialfunktionen:

f (x) = e^{g (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

In diesem Fall ist

g (x) = - \frac{1}{8} \cdot x^{2}

f^{'} (x) = 2 e^{- \frac{1}{8} \cdot x^{2}} \cdot (- \frac{1}{4} x) = - \frac{1}{2} x \cdot e^{- \frac{1}{8} \cdot x^{2}}

f^{'} (- 2) = e^{- \frac{1}{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichung der Tangente

Formel für die Tangentengleichung:

t (x) = (x - x_{0}) \cdot f^{'} (x_{0}) + f (x_{0})

Hier ist

x_{0} = - 2

w : y = (x - (- 2)) \cdot f^{'} (- 2) + f (- 2)

w : y = (x + 2) \cdot e^{- \frac{1}{2}} + 2 e^{- \frac{1}{2}}

w : y = e^{- \frac{1}{2}} x + 4 e^{- \frac{1}{2}}

Nullstellen einer Funktion

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| : e^{- \frac{1}{2}}

x + 4 = 0

x = - 4

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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