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Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2d  (5 BE)

Bestimmen Sie nun mithilfe des Graphen von ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aus Teil B Teilaufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).
Beschreiben Sie unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von 1,50 m der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 5 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt 6 ${\displaystyle {\text{m}}^2}$ hat.

 

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2d

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Flächenberechnung

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Bestimmtes Integral

Die Fläche die ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ mit der x-Achse zwischen ${\displaystyle -4}$ und ${\displaystyle 4}$ einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\underset{-4}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\text{ dx}}$

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\underset{-4}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\text{ dx}}$

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, dann ist ${\displaystyle {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und es gilt:

${\displaystyle \underset{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\overset{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\text{ dx}={\left[\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\right]}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=[\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}){]}_{-4}^4=\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(4)-\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-4)\approx 4,8-(-4,8)=9,6{\text{ m}}^2}$

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Erläuterung

Am Graphen der Stammfunktion (Graph I) können die Werte für ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-4}$ und ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4}$ abgelesen werden.

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Bestimmtes Integral

Der Inhalt der schraffierten Fläche entspricht dem Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters) minus der Flächeninhalt des Fensters.

Der Flächeninhalt des Fensters entspricht dem Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit der ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse zwischen seinen Nullstellen einschließt und ist gegeben durch:

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\text{Fenster}}={\int }_{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}^{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\text{ dx}={\int }_{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}^{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}\left(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+1,5\right)\text{ dx}}$

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\text{schraffiert}}=9,6-{\int }_{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}^{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}\left(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+1,5\right)\text{ dx}=6}$

Dabei sind ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$ und ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$ die Nullstellen der Funktion ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+1,5}$, ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1<{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

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