Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 3a (4 BE)

Die binomialverteilte Zufallsgröße

X

mit den Parametern

n = 8

und

p_{X}

besitzt die Standardabweichung

\frac{4}{3}

. In Abbildung 2 ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von

X

dargestellt.

Ermitteln Sie den Wert des Parameters

p_{X}

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 3a

Standardabweichung einer Zufallsgröße

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n = 8

;

p_{X}

;

σ = \frac{4}{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Standardabweichung einer Zufallsgröße

Ist

X

binomialverteilt, dann gilt für die Standardabweichung (Streuung) von

X

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}

\sqrt{8 \cdot p_{X} \cdot (1 - p_{X})} = \frac{4}{3}

|^{2}

8 \cdot p_{X} \cdot (1 - p_{X}) = \frac{16}{9}

- 8 p_{X}^{2} + 8 p_{X} - \frac{16}{9} = 0

| : (- 8)

p_{X}^{2} - p_{X} + \frac{2}{9} = 0

p_{X_{1, 2}} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot \frac{2}{9}}}{2} = \frac{1 \pm \frac{1}{3}}{2}

p_{X_{1}} = \frac{1}{3}

;

P_{X_{2}} = \frac{2}{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

Ist

X

binomialverteilt, dann gilt:

Erwartungswert von

X

μ = n \cdot p

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen liegt das Maximum stets beim Erwartungswert. Hier an der Abbildung ca. bei 2,5 abzulesen.

μ = 8 \cdot \frac{1}{3} \approx 2, 67

Wegen

μ = n \cdot p_{X}

kann man bei gegebenem

n = 8

anhand der Abbildung schlussfolgern, dass

p_{X} = \frac{1}{3}

sein muss.

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Standardabweichung einer Zufallsgröße

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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