Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Stochastik IV

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Teilaufgabe Teil B 2b (4 BE)

Ermitteln Sie, wie viele Spiele durchgeführt werden müssen, damit der Erwartungswert der Einnahme für die beiden Aktionen 300 € beträgt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2b

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für den Erwartungswert dieser Zufallsgröße:

E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i}) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

Hier wird die Einnahme als Zufallsgröße betrachtet, die sich aus Einsatz (3€) minus Auszahlung (2€ pro erzielte Ziffer 2) zusammen setzt.

- 0-Mal Ziffer 2

\Rightarrow

keine Auszahlung und die Einnahme beträgt 3€ (Einsatz).
- 1-Mal Ziffer 2

\Rightarrow

1 Auszahlung und die Einnahme beträgt 3€ - 2€ = 1€.
- 2-Mal Ziffer 2

\Rightarrow

2 Auszahlungen und die Einnahme beträgt 3€ - 4€ = -1€.
- 3-Mal Ziffer 2

\Rightarrow

3 Auszahlungen und die Einnahme beträgt 3€ - 6€ = -3€.

E (E) = \frac{1}{3} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot (- 1) + \frac{1}{12} \cdot (- 3) = \frac{5}{6}

€

Anzahl Spiele:

\frac{300 €}{\frac{5}{6} €} = 360

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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