Lösung Abitur Bayern 2020 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (3 BE)

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto 1 + 7 e^{- 0, 2 x}

mit Definitionsbereich

ℝ_{0}^{+}

; die Abbildung 1 (Teil B) zeigt ihren Graphen

G_{f}

Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung

y = 1

waagrechte Asymptote von

G_{f}

ist. Zeigen Sie rechnerisch, dass

f

streng monoton abnehmend ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Grenzwert bestimmen

lim_{x \to \infty} 1 + 7 \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{- 0, 2 x}}} = 1

Monotonieverhalten einer Funktion

Erste Ableitung bilden:

f^{'} (x) = 0 + 7 e^{- 0, 2 x} \cdot (- 0, 2) = - 1, 4 e^{- 0, 2 x}

Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:

\underset{< 0}{\underset{︸}{- 1, 4 \underset{> 0}{\underset{︸}{e^{- 0, 2 x}}}}} < 0

\Rightarrow

f^{'} (x) < 0

für alle

x \in ℝ_{0}^{+}

\Rightarrow

G_{f}

ist streng monoton fallend

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Themen dieser Aufgabe:

Grenzwert bestimmen

Monotonieverhalten einer Funktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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