Abitur 2020 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

g : x \mapsto \ln (2 - x^{2})

mit maximalem Definitionsbereich

D_{g}

Teilaufgabe Teil A 1a (3 BE)

Skizzieren Sie die Parabel mit der Gleichung

y = 2 - x^{2}

in einem Koordinatensystem und geben Sie

D_{g}

an.

Teilaufgabe Teil A 1b (2 BE)

Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion

g^{'}

von

g

Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen

G_{h}

einer in

ℝ ∖ {2}

definierten gebrochenrationalen Funktion

h

.
Die Funktion

h

hat bei

x = 2

eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt

G_{h}

die Gerade mit der Gleichung

y = x - 7

als schräge Asymptote.

Teilaufgabe Teil A 2a (3 BE)

Zeichnen Sie in die Abbildung 1 die Asymptoten von

G_{h}

ein und skizzieren Sie im Bereich

x < 2

einen möglichen Verlauf von

G_{h}

Teilaufgabe Teil A 2b (2 BE)

Berechnen Sie unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von

G_{h}

einen Näherungswert für

\int_{10}^{20} h (x) dx

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

k : x \mapsto \frac{- x^{2} + 2 x}{2 x^{2} + 4}

. Ihr Graph wird mit

G_{k}

bezeichnet.

Teilaufgabe Teil A 3a (3 BE)

Geben Sie die Nullstellen von

k

an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass

G_{k}

die Gerade mit der Gleichung

y = - 0, 5

als waagrechte Asymptote besitzt.

Teilaufgabe Teil A 3b (2 BE)

Berechnen Sie die x-Koordinate des Schnittpunkts von

G_{k}

mit der waagrechten Asymptote.

Teilaufgabe Teil A 4 (5 BE)

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen

G_{f}

einer in

[0, 8; + \infty [

definierten Funktion

f

Betrachtet wird zudem die in

[0, 8; + \infty [

definierte Integralfunktion

J : x \mapsto \int_{2}^{x} f (t) dt

.

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass

J (1) \approx - 1

gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert

J (4, 5)

an. Skizzieren Sie den Graphen von

J

in der Abbildung 2.

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto 1 + 7 e^{- 0, 2 x}

mit Definitionsbereich

ℝ_{0}^{+}

; die Abbildung 1 (Teil B) zeigt ihren Graphen

G_{f}

Teilaufgabe Teil B 1a (3 BE)

Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung

y = 1

waagrechte Asymptote von

G_{f}

ist. Zeigen Sie rechnerisch, dass

f

streng monoton abnehmend ist.

Für jeden Wert

s > 0

legen die Punkte

(0 | 1)

(s | 1)

(s | f (s))

und

(0 | f (s))

ein Rechteck mit dem Flächeninhalt

R (s)

fest.

Teilaufgabe Teil B 1b (7 BE)

Zeichnen Sie dieses Rechteck für

s = 5

in die Abbildung 1 (Teil B) ein.
Zeigen Sie, dass

R (s)

für einen bestimmten Wert von

s

maximal ist, und geben Sie diesen Wert von

s

an.

(zur Kontrolle:

R (s) = 7 s \cdot e^{- 0, 2 s}

)

Teilaufgabe Teil B 1c (7 BE)

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von

G_{f}

, der y-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen

y = 1

und

x = 5

begrenzt wird.
Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu

s = 5

gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.

Die in

ℝ_{0}^{+}

definierte Funktion

A : x \mapsto \frac{8}{f (x)}

beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Südufer eines Sees. Dabei ist

x

die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Tagen und

A (x)

der Flächeninhalt in Quadratmetern.

Teilaufgabe Teil B 2a (5 BE)

Bestimmen Sie

A (0)

sowie

lim_{x \to + \infty} A (x)

und geben Sie jeweils die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an. Begründen Sie mithilfe des Monotonieverhaltens der Funktion

f

, dass der Flächeninhalt des Algenteppichs im Laufe der Zeit ständig zunimmt.

Teilaufgabe Teil B 2b (4 BE)

Bestimmen Sie denjenigen Wert

x_{0}

, für den

A (x_{0}) = 4

gilt, und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

(zur Kontrolle:

x_{0} \approx 9, 7

)

Teilaufgabe Teil B 2c (4 BE)

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn.

Teilaufgabe Teil B 2d (2 BE)

Nur zu dem Zeitpunkt, der im Modell durch

x_{0}

(vgl. Aufgabe 2b) beschrieben wird, nimmt die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs ihren größten Wert an. Geben Sie eine besondere Eigenschaft des Graphen von

A

im Punkt

(x_{0} | A (x_{0}))

an, die sich daraus folgern lässt, und begründen Sie Ihre Angabe.

Teilaufgabe Teil B 2e (3 BE)

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion

A

unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2 (Teil B).

Teilaufgabe Teil B 2f (5 BE)

Um die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Nordufer des Sees zu beschreiben, wird im Term

A (x)

die im Exponenten zur Basis

e

enthaltene Zahl

- 0, 2

durch eine kleinere Zahl ersetzt.

Vergleichen Sie den Algenteppich am Nordufer mit dem am Südufer

hinsichtlich der durch $A (0)$ und $lim_{x \to + \infty} A (x)$ beschriebenen Eigenschaften (vgl. Aufgabe 2a).
hinsichtlich der momentanen Änderungsrate des Flächeninhalts zu Beobachtungsbeginn (vgl. Aufgabe 2c).

Skizzieren Sie – ausgehend von diesem Vergleich – in der Abbildung 2 (Teil B) den Graphen einer Funktion, die eine mögliche zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts des Algenteppichs am Nordufer beschreibt.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1a

Teilaufgabe Teil A 1b

Teilaufgabe Teil A 2a

Teilaufgabe Teil A 2b

Teilaufgabe Teil A 3a

Teilaufgabe Teil A 3b

Teilaufgabe Teil A 4

Teilaufgabe Teil B 1a

Teilaufgabe Teil B 1b

Teilaufgabe Teil B 1c

Teilaufgabe Teil B 2a

Teilaufgabe Teil B 2b

Teilaufgabe Teil B 2c

Teilaufgabe Teil B 2d

Teilaufgabe Teil B 2e

Teilaufgabe Teil B 2f

Lösung als Video:

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!