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Lösung Abitur Bayern 2020 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe Teil B 1a  (5 BE)
Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ x 2 - 1 x 2 + 1 ; die Abbildung 1 (Teil B) zeigt ihren Graphen G f .

Bestätigen Sie rechnerisch, dass G f symmetrisch bezüglich der y -Achse ist, und untersuchen Sie anhand des Funktionsterms das Verhalten von f für x → + ∞ . Bestimmen Sie diejenigen x -Werte, für die f ( x ) = 0 , 96 gilt.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a
Symmetrieverhalten einer Funktion



f ( x ) = x 2 - 1 x 2 + 1
Schritt einblenden / ausblenden
f ( - x ) = ( - x ) 2 - 1 ( - x ) 2 + 1 = x 2 - 1 x 2 + 1 = f ( x )

⇒ G f ist achsensymmetrisch bezüglich der y -Achse
Grenzwert bestimmen



lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ x 2 - 1 ︷ → + ∞ x 2 + 1 ︸ → + ∞ = lim x → + ∞ x 2 ⋅ ( 1 - 1 x 2 ) x 2 ⋅ ( 1 + 1 x 2 ) = lim x → + ∞ 1 - 1 x 2 ︷ → 0 1 + 1 x 2 ︸ → 0 = 1
Schnittpunkt zweier Funktionen



x 2 - 1 x 2 + 1 = 0 , 96 | ⋅ ( x 2 + 1 )

x 2 - 1 = 0 , 96 x 2 + 0 , 96 | - 0 , 96 x 2 + 1

0 , 04 x 2 = 1 , 96 | : 0 , 04

x 2 = 49 |

x 1 , 2 = ± 7
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Themen dieser Aufgabe:
Symmetrieverhalten einer Funktion
Grenzwert bestimmen
Schnittpunkt zweier Funktionen
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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