Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2b (5 BE)

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2b

Schnittwinkel eines Graphen mit der x-Achse

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f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{\frac{1}{2} x} - e^{- \frac{1}{2} x})

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Aufhängepunkt entspricht dem Punkt

(4 | f (4))

Steigung der Tangente im Punkt

(4 | f (4))

Schritt einblenden / ausblenden

Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an der Stelle

x_{0}

, ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x_{0}

.

Sie entspricht auch dem Tangens des Winkels

α

, welcher die Tangente mit der

x

-Achse bildet.

f^{'} (x_{0}) = \tan α

\tan α = f^{'} (4) = \frac{1}{2} \cdot (e^{\frac{1}{2} \cdot 4} - e^{- \frac{1}{2} \cdot 4}) = \frac{1}{2} \cdot (e^{2} - e^{- 2})

\Rightarrow

α = \arctan [\frac{1}{2} \cdot (e^{2} - e^{- 2})] \approx 74, 6^{\circ}

(Winkel

α

zwischen Tangente und

x

-Achse)

Winkel

φ

zwischen Seil und Mast 2:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck, welches die Tangente, der Mast 2 und die

x

-Achse bilden, gilt:

α + φ + 90^{\circ} = 180^{\circ}

φ = 90^{\circ} - α = 90^{\circ} - 74, 6^{\circ} = 15, 4^{\circ}

Anwendungsaufgabe

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Aus Teilaufgabe Teil B 1h:

L_{0; b} = e^{\frac{1}{2} b} - e^{- \frac{1}{2} b}

Länge des Seils:

2 \cdot L_{0; 4} = 2 \cdot (e^{2} - e^{- 2}) \approx 14, 51 m = 1451 cm

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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