Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1b (3 BE)

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von

G_{f}

sowie das Verhalten von

f

für

x \to - \infty

und für

x \to + \infty

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1b

Symmetrieverhalten einer Funktion

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f (x) = e^{\frac{1}{2} x} + e^{- \frac{1}{2} x}

Schritt einblenden / ausblenden

Symmetrieverhalten

Man ermittelt zunächst

f (- x)

und vergleicht dann. Es gilt:

G_{f}

ist achsensymmetrisch bezüglich der

y

-Achse, wenn gilt:

f (- x) = f (x)

G_{f}

ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt:

f (- x) = - f (x)

f (- x) = e^{\frac{1}{2} (- x)} + e^{- \frac{1}{2} (- x)} = e^{- \frac{1}{2} x} + e^{\frac{1}{2} x} = f (x)

\Rightarrow

G_{f}

ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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Grenzwerte bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

e^{a \cdot x}

mit

a > 0

ist auf ganz

ℝ

stets positiv.

Für

a > 0

steigt der Graph streng monoton, für

a < 0

fällt er streng monoton.

lim_{x \to + \infty} \underset{\to + \infty}{\underset{︸}{e^{\overset{\to + \infty}{\overset{︷}{\frac{1}{2} x}}}}} + \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{\overset{\to - \infty}{\overset{︷}{- \frac{1}{2} x}}}}} = + \infty

lim_{x \to - \infty} \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{\overset{\to - \infty}{\overset{︷}{\frac{1}{2} x}}}}} + \underset{\to + \infty}{\underset{︸}{e^{\overset{\to + \infty}{\overset{︷}{- \frac{1}{2} x}}}}} = + \infty

(Hinweis: wegen der Symmetrie von

G_{f}

kann aus einem Grenzwert der andere geschlussfolgert werden.)

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Themen dieser Aufgabe:

Symmetrieverhalten einer Funktion

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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