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Abitur 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Funktion f : x ↦ 1 - ln x mit maximaler Definitionsmenge D .
Bestimmen Sie D .

Bestimmen Sie den Wert x ∈ D mit f ( x ) = 2 .

Zeigen Sie, dass der Graph der in ℝ definierten Funktion g : x ↦ x 2 ⋅ sin x punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des Integrals ∫ - π π x 2 ⋅ sin x  dx an.

Skizzieren Sie im Bereich - 1 ≤ x ≤ 4 den Graphen einer in ℝ definierten Funktion f mit den folgenden Eigenschaften:
  • f ist nur an der Stelle x = 3 nicht differenzierbar.

  • f ( 0 ) = 2 und für die Ableitung f ′ von f gilt: f ′ ( 0 ) = - 1 .

  • Der Graph von f ist im Bereich - 1 < x < 3 linksgekrümmt.

Gegeben ist eine in ℝ definierte ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph G f an der Stelle x = 1 einen Hochpunkt und an der Stelle x = 4 einen Tiefpunkt besitzt.
Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion f ′ von f eine Parabel ist, welche die x -Achse in den Punkten ( 1 | 0 ) und ( 4 | 0 ) schneidet und nach oben geöffnet ist.

Begründen Sie, dass 2 , 5 die x -Koordinate des Wendepunkts von G f ist.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in ℝ definierten Funktion f .

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für ∫ 3 5 f ( x )  dx .

Die Funktion F ist die in ℝ definierte Stammfunktion von f mit F ( 3 ) = 0 .
Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an der Stelle x = 2 an.

Zeigen Sie, dass F ( b ) = ∫ 3 b f ( x )  dx mit b ∈ ℝ gilt.

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ e 1 2 x + e - 1 2 x . Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G f mit der y-Achse und begründen Sie, dass G f oberhalb der x-Achse verläuft.

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von G f sowie das Verhalten von f für x → - ∞ und für x → + ∞ .

Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f ′ ′ von f die Beziehung f ′ ′ ( x ) = 1 4 ⋅ f ( x ) für x ∈ ℝ gilt. Weisen Sie nach, dass G f linksgekrümmt ist.

[Zur Kontrolle: f ′ ( x ) = 1 2 ⋅ ( e 1 2 x - e - 1 2 x ) ]

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G f .

Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an G f im Punkt P ( 2 | f ( 2 ) ) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: - 4 ≤ x ≤ 4 , - 1 ≤ y ≤ 9 ).

Berechnen Sie f ( 4 ) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G f im Bereich - 4 ≤ x ≤ 4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für x ∈ ℝ die Beziehung 1 4 ⋅ [ f ( x ) ] 2 - [ f ′ ( x ) ] 2 = 1 gilt.

Die als Kurvenlänge L a ; b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten ( a | f ( a ) ) und ( b | f ( b ) ) mit a < b lässt sich mithilfe der Formel L a ; b = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2  dx berechnen.
Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L 0 ; b des Graphen von f zwischen den Punkten ( 0 | f ( 0 ) ) und ( b | f ( b ) ) mit b > 0 .

[Ergebnis: L 0 ; b = e 1 2 b - e - 1 2 b ]

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph G f aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich - 4 ≤ x ≤ 4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F 1 und F 2 der Masten durch die Punkte ( - 4 | 0 ) bzw. ( 4 | 0 ) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.

Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in ℝ definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt ( 0 | 2 ) hat und durch den Punkt ( 4 | f ( 4 ) ) verläuft.
Ermitteln Sie den Term q ( x ) der Funktion q , ohne dabei zu runden.

Für jedes x ∈ ] 0 ; 4 [ wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte ( x | q ( x ) ) und ( x | f ( x ) ) der Graphen von q bzw. f betrachtet, wobei in diesem Bereich q ( x ) > f ( x ) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen G f im Bereich 0 < x < 4 annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.

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