Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1c (4 BE)

Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung

f^{''}

von

f

die Beziehung

f^{''} (x) = \frac{1}{4} \cdot f (x)

für

x \in ℝ

gilt. Weisen Sie nach, dass

G_{f}

linksgekrümmt ist.

[Zur Kontrolle:

f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{\frac{1}{2} x} - e^{- \frac{1}{2} x})

]

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1c

Erste und zweite Ableitung einer Funktion ermitteln

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f (x) = e^{\frac{1}{2} x} + e^{- \frac{1}{2} x}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel für Exponentialfunktionen:

f (x) = e^{g (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

In diesem Fall ist einmal

g (x) = \frac{1}{2} x

und einmal

g (x) = - \frac{1}{2} x

f^{'} (x) = e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2} + e^{- \frac{1}{2} x} \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Ableitung eines Produktes

Folgende Regeln müssen hier beachtet werden:

1. Ableitung eines Produktes

h (x) = a \cdot f (x)

\Rightarrow

h^{'} (x) = a \cdot f^{'} (x)

2. Kettenregel für Exponentialfunktionen

f (x) = e^{g (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

Beispiel:

{(2 \cdot e^{4 x})}^{'} = 2 \cdot {(e^{4 x})}^{'}

(Produktregel)

{(2 \cdot e^{4 x})}^{'} = 2 \cdot {(e^{4 x})}^{'} = 2 \cdot e^{4 x} \cdot 4

(Kettenregel)

f^{''} (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}

f^{''} (x) = \frac{1}{4} \cdot (e^{\frac{1}{2} x} + e^{- \frac{1}{2} x}) = \frac{1}{4} \cdot f (x)

Krümmungsverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Vorzeichen der zweiten Ableitung untersuchen:

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

e^{a \cdot x}

mit

a > 0

ist auf ganz

ℝ

stets positiv.

f^{''} (x) = \frac{1}{4} \cdot (\underset{> 0}{\underset{︸}{e^{\frac{1}{2} x}}} + \underset{> 0}{\underset{︸}{e^{- \frac{1}{2} x}}}) > 0

für alle

x \in ℝ

Schritt einblenden / ausblenden

Krümmungsverhalten einer Funktion

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt Aufschluss über das Krümmungsverhalten des Graphen.

Es gilt:

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

negativ auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) < 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

in diesem Intervall rechtsgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

positiv auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) > 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

in diesem Intervall linksgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{W}

, d.h.

f^{''} (x^{W}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{W}

vor.

\Rightarrow

G_{f}

ist linksgekrümmt

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Erste und zweite Ableitung einer Funktion ermitteln

Krümmungsverhalten einer Funktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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