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Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1h (4 BE)

Die als Kurvenlänge $L_{a; b}$ bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von $f$ zwischen den Punkten $(a | f (a))$ und $(b | f (b))$ mit $a < b$ lässt sich mithilfe der Formel $L_{a; b} = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} dx$ berechnen.

Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge $L_{0; b}$ des Graphen von $f$ zwischen den Punkten $(0 | f (0))$ und $(b | f (b))$ mit $b > 0$ .

[Ergebnis: $L_{0; b} = e^{\frac{1}{2} b} - e^{- \frac{1}{2} b}$ ]

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1h

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Aussage aus Teilaufgabe 1g: $\frac{1}{4} \cdot [f (x)]^{2} - {[f^{'} (x)]}^{2} = 1$

Umstellen: $\frac{1}{4} \cdot [f (x)]^{2} = 1 + {[f^{'} (x)]}^{2}$

$L_{0; b} = \int_{0}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} dx$