Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.5 (7 BE)

Berechnen Sie die Maßzahl des im 4. Quadranten liegenden endlichen Flächenstücks, das nur von den Graphen

G_{f}

und

G_{f^{'}}

begrenzt wird und runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Lösung zu Teilaufgabe 1.5

Schnittpunkt zweier Funktionen

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Schnittpunkte bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dort, wo sie ein übereinstimmendes Wertepaar

(x, y)

, einen gemeinsamen Punkt, besitzen.

Man setzt die Funktionsgleichungen gleich und löst nach

x

auf.

f (x) = f^{'} (x)

\frac{1}{6} x^{3} - x^{2} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x

\frac{1}{6} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x = 0

\frac{1}{6} x \cdot (x^{2} - 9 x + 12) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

Alle Terme werden einzeln untersucht.

x_{1} = 0

x^{2} - 9 x + 12 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form

a x^{2} + b x + c = 0

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{2, 3} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 12}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}

x_{2} = \frac{9 - \sqrt{33}}{2} \approx 1, 63

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Schritt einblenden / ausblenden

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Verläuft der Graph einer Funktion

f

oberhalb dem Graphen einer Funktion

g

, so ist der Inhalt eines Flächenstücks zwischen den zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

A = \int_{0}^{\frac{9 - \sqrt{33}}{2}} (f (x) - f^{'} (x)) dx

A = \int_{0}^{\frac{9 - \sqrt{33}}{2}} (\frac{1}{6} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\frac{1}{6} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (\frac{1}{6} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x) dx = \frac{1}{6} \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} - \frac{3}{2} \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + 2 \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} = \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{3}}{2} + x^{2}

A = {[\frac{1}{24} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2}]}_{0}^{\frac{9 - \sqrt{33}}{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = \frac{1}{24} \cdot {(\frac{9 - \sqrt{33}}{2})}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{9 - \sqrt{33}}{2})}^{3} + {(\frac{9 - \sqrt{33}}{2})}^{2} - 0 \approx 0, 79

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Themen dieser Aufgabe:

Schnittpunkt zweier Funktionen

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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