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Abitur 2015 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

Abbildung 1 zeigt den Graphen G f ′ der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz ℝ definierten ganzrationalen Funktion f dritten Grades. Alle im Folgenden zu entnehmenden Werte sind ganzzahlig.
Geben Sie nur mithilfe des Graphen G f ′ die maximalen Monotonieintervalle und die Wendestelle des Graphen der Funktion f an. Begründen Sie das Vorliegen der Wendestelle hinreichend.

Bestimmen Sie ausgehend vom Graphen G f ′ den Funktionsterm f ′ ( x ) und dann den Funktionsterm f ( x ) für den Fall, dass G f den Ursprung enthält.
[Mögliches Teilergebnis: f ( x ) = 1 6 ( x 3 - 6 x 2 ) ]

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit der jeweiligen Vielfachheit und ermitteln Sie unter Verwendung vorliegender Ergebnisse Art und Koordinaten der Extrempunkte und den Wendepunkt des Graphen G f .

Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und f ′ im Bereich - 2 ≤ x ≤ 6 in ein kartesisches Koordinatensystem.

Berechnen Sie die Maßzahl des im 4. Quadranten liegenden endlichen Flächenstücks, das nur von den Graphen G f und G f ′ begrenzt wird und runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion

h : x ↦ { 1 6 ( x 3 - 6 x 2 ) für x < 0 1 2 x 2 - 2 x für x ≥ 0
Markieren Sie den Graphen der Funktion h farbig im vorhandenen Koordinatensystem und machen Sie damit Aussagen zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion h an der Stelle x = 0 (kurze Begründung erforderlich).

Geben Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte des Graphen der Funktion h an.

Die Funktion h ˜ entsteht aus h , wenn für x ≥ 0 der Term 1 2 x 2 - 2 x + 1 verwendet wird. Erläutern Sie, welche Aussagen man zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit von h ˜ an der Stelle x = 0 machen kann.

Auf einem Campingplatz möchte der Pächter in einem Zelt ein Kino einrichten. Als Projektionsfläche dient eine Seitenwand, welche durch die Parabel G p und der x -Achse begrenzt wird. Am Boden hat das Zelt eine Spannweite von 20 m. Bei den folgenden Rechnungen wird auf Einheiten verzichtet.
Bestimmen Sie den Funktionsterm p ( x ) der Parabel G p .
[Mögliches Ergebnis: p ( x ) = - 0 , 08 x 2 + 8 ]

Es ist beabsichtigt, eine Leinwand von 7 m x 4 m anzubringen, wobei sich die Unterkante der Leinwand in einer Höhe von 3 m befindet. Untersuchen Sie durch Rechnung, ob dies an der Seitenwand möglich ist.

Ein Filmverleih rät dem Pächter zu einer Leinwand bei einer Unterkante in 3 m Höhe (siehe Abbildung 2).
Stellen Sie die Maßzahl A ( u ) des Flächeninhalts der Leinwand auf und bestimmen Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D A der Funktion A : u ↦ A ( u ) .
[Mögliches Teilergebnis: A ( u ) = - 0 , 16 u 3 + 10 u ]

Ermitteln Sie u so, dass A ( u ) den absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall Höhe, Breite und Flächeninhalt der Leinwand. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

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