Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (4 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten von

N

und

L

( Teilergebnis: $N (7, 2 | 8 | 7)$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Schnitt Ebene und Gerade

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F : 3 x_{1} + 4 x_{3} - 49, 6 = 0

m : \vec{X} = (\begin{matrix} 4, 8 \\ 8 \\ 7, 4 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

Ebene

F

und Gerade

m

schneiden:

F \cap m

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Einsetzen

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

\begin{matrix} F \cap m : & 3 \cdot (4, 8 + 6 μ) + 4 \cdot (7, 4 - μ) - 49, 6 & = & 0 \\ 14, 4 + 18 μ + 29, 6 - 4 μ - 49, 6 & = & 0 \\ 14 μ & = & 5, 6 \\ μ & = & 0, 4 \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, wird der gefundene

μ

-Wert in die Geradengleichung eingesetzt.

\vec{N} = (\begin{matrix} 4, 8 \\ 8 \\ 7, 4 \end{matrix}) + 0, 4 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7, 2 \\ 8 \\ 7 \end{matrix})

N (7, 2 | 8 | 7)

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Die Strecke

[N F]

ist nach Konstruktion parallel zur

x_{3}

-Achse und

1, 4

m

lang. Die

x_{1}

- und

x_{2}

Koordinaten von

N

und

F

sind somit gleich. Für die

x_{3}

-Koordinaten von

L

gilt:

x_{3_{L}} = x_{3_{N}} - 1, 4

L (7, 2 | 8 | 7 - 1, 4) = (7, 2 | 8 | 5, 6)

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Schnitt Ebene und Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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