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Teilaufgabe Teil A 1a

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Teilaufgabe Teil A 2b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

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Winkel zwischen zwei Vektoren

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Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (3 BE)

In der Stadt, in der das Einfamilienhaus steht, gilt für die Errichtung von Dachgauben eine Satzung, die jeder Bauherr einhalten muss. Diese Satzung lässt die Errichtung einer Dachgaube zu, wenn die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche des jeweiligen Hausdachs gegen die Horizontale mindestens $35^{\circ}$ beträgt. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das betrachtete Einfamilienhaus die Errichtung einer Dachgaube zulässig ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

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Winkel zwischen zwei Vektoren

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Aus dem Bild der Angabe sind die Koordinaten der Punkte zu entnehmen:

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$C (8 | 10 | 5)$ ; $D (0 | 10 | 5)$

Vektoren $\vec{C H}$ und $\vec{C D}$ bestimmen:

$\vec{C H} = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ (s. Teil B Aufgabe a)

$\vec{C D} = \vec{D} - \vec{C} = (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

Winkel $α$ zwischen den Vektoren $\vec{C H}$ und $\vec{C D}$ bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

$\cos α = \frac{(\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} - 8 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) |}$

Schritt einblenden / ausblenden

$\cos α = \frac{32 + 0 + 0}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{64}} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow$ $α = \cos^{- 1} \frac{4}{5} \approx 36, 87^{\circ}$

Winkel zwischen zwei Ebenen

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Alternative Lösung

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$B (8 | 0 | 5)$ ; $C (8 | 10 | 5)$

$\vec{C H} = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$

$\vec{B C} = \vec{C} - \vec{B} = (\begin{matrix} 8 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{matrix})$

Normalenvektor $\vec{n_{E}}$ der Ebene $E_{B C H G}$ bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

$\vec{B C} \times \vec{C H} = (\begin{matrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 30 \\ 0 \\ 40 \end{matrix})$

Schritt einblenden / ausblenden

$\Rightarrow$ $\vec{n_{E}} = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 30 \\ 0 \\ 40 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$

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Normalenvektor der $x_{1} x_{2}$ -Ebene: $\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel $α$ zwischen den Normalenvektoren der Ebene $E_{B C H G}$ und der $x_{1} x_{2}$ -Ebene bestimmen:

$\cos α = \frac{(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}$

$\cos α = \frac{0 + 0 + 4}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{1}}$

$\cos α = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow$ $α = \cos^{- 1} \frac{4}{5} \approx 36, 87^{\circ}$

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