Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (2 BE)

Die Abbildung zeigt modellhaft ein Einfamilienhaus, das auf einer horizontalen Fläche steht. Auf einer der beiden rechteckigen Dachflächen soll eine Dachgaube errichtet werden. Die Punkte

A

B

C

D

O

P

Q

und

R

sind die Eckpunkte eines Quaders. Das gerade dreiseitige Prisma

L M N I J K

stellt die Dachgaube dar, die Strecke

[G H]

den First des Dachs, d. h. die obere waagrechte Dachkante. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht

1

m, d. h. das Haus ist

10

m lang.

Berechnen Sie den Inhalt derjenigen Dachfläche, die im Modell durch das Rechteck

B C H G

dargestellt wird.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Länge eines Vektors

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C (8 | 10 | 5)

;

H (4 | 10 | 8)

\vec{C H} = \vec{H} - \vec{C} = (\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

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Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{C H} | = | (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) | = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5

Flächeninhalt eines Rechtecks

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Erläuterung

Die Länge des Vektors

\vec{B C}

entspricht der

x_{2}

-Koordinate von

C

A_{B C H G} = | \vec{B C} | \cdot | \vec{C H} | = 10 \cdot 5 = 50

m^{2}

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Länge eines Vektors

Flächeninhalt eines Rechtecks

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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