Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B e (3 BE)

Die Punkte

M

und

N

liegen auf der Geraden

m : \vec{X} = (\begin{matrix} 4, 8 \\ 8 \\ 7, 4 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

μ \in ℝ

, die im Modell die Neigung der Dachfläche der Gaube festlegt. Die zur

x_{3}

-Achse parallele Strecke

[N L]

stellt im Modell den sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll

1, 4

m betragen. Um die Koordinaten von

N

und

L

zu bestimmen, wird die Ebene

F

betrachtet, die durch Verschiebung von

E

1, 4

in positive

x_{3}

-Richtung entsteht.

Begründen Sie, dass

3 x_{1} + 4 x_{3} - 49, 6 = 0

eine Gleichung von

F

ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B e

Verschiebung um einen Vektor

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Normalenform der Ebene

E

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

H

ist Aufpunkt):

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{H}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ 8 \end{matrix})}}

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenvektor

Die Ebene

F

entsteht durch Verschiebung der Ebene

E

. Der Normalenvektor

\vec{n_{F}}

der Ebene

F

ist somit gleich dem Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

\vec{n_{E}} = \vec{n_{F}}

, ist die Normalenform der Ebene

F

gleich:

Schritt einblenden / ausblenden

Als Aufpunkt der Ebene

F

wird der um

1, 4

Einheiten in positive

x_{3}

-Richtung verschobene Aufpunkt

H

der Ebene

E

verwendet.

F : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 4 \\ 10 \\ 8 + 1, 4 \end{matrix})

F : 3 x_{1} + 4 x_{3} = 12 + 0 + 37, 6

F : 3 x_{1} + 4 x_{3} - 49, 6 = 0

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Themen dieser Aufgabe:

Verschiebung um einen Vektor

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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