Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (3 BE)

Auf der Geraden

t

wird nun der Punkt

M

so festgelegt, dass der Abstand der Dachgaube vom First

1

m beträgt. Bestimmen Sie die Koordinaten von

M

( Ergebnis: $M (4, 8 | 8 | 7, 4)$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normierter Richtungsvektor der Geraden

t

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor (normierter Vektor) hat die Länge 1.
Um den Einheitsvektor zu einem gegebenen Vektor zu bestimmen, muss durch den Betrag des Vektors geteilt werden:

{\vec{a}}^{0} = \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}

Der Einheitsvektor

{\vec{a}}^{0}

zeigt in dieselbe Richtung wie

\vec{a}

, hat aber die Länge 1.

{\vec{R V}}_{t}^{0} = \frac{1}{| \vec{R V_{t}} |} \cdot \vec{R V_{t}}

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

\vec{R V_{t}} = \vec{H C} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

(s. Teilaufgabe c)

| \vec{H C} | = 5

(s. Teilaufgabe a)

{\vec{R V}}_{t}^{0} = \frac{1}{5} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

Punkt

M

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Punktkoordinaten

Um zum Punkt

M

zu gelangen, bewegt man sich vom Punkt

T

aus entlang der Geraden

t

. Der normierte Richtungsvektor

{\vec{R V}}_{t}^{0}

der Geraden hat Länge 1 und zeigt vom Punkt

T

aus in Richtung

M

.

Da der Punkt

M

einen Abstand von

1 m

vom Punkt

T

haben soll, passt der normierte Richtungsvektor

1

-mal zwischen

T

und

M

rein.

\vec{M} = \vec{T} + 1 \cdot {\vec{R V}}_{t}^{0}

\vec{M} = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{matrix}) + \frac{1}{5} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{24}{5} \\ 8 \\ \frac{37}{5} \end{matrix})

M (4, 8 | 8 | 7, 4)

Alternative Lösung

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M \in t

\Rightarrow

M (4 + 4 λ | 8 | 8 - 3 λ)

Es soll gelten:

d (M, T) = 1

d (M, T) = | \vec{M T} | = | (\begin{matrix} 4 - 4 - 4 λ \\ 8 - 8 \\ 8 - 8 + 3 λ \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 4 λ \\ 0 \\ 3 λ \end{matrix}) | = \sqrt{16 λ^{2} + 0 + 9 λ^{2}} = \sqrt{25 λ^{2}}

\sqrt{25 λ^{2}} = 1

25 λ^{2} = 1

λ = \pm \frac{1}{5}

\Rightarrow

M_{1} (4 + \frac{4}{5} | 8 | 8 - \frac{3}{5})

;

M_{2} (4 - \frac{4}{5} | 8 | 8 + \frac{3}{5})

M_{1}

ist gesuchter Punkt, da

M_{2}

höher liegt als

T

(vergleiche

x_{3}

-Koordinaten).

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Lage eines Punktes

Alternative Lösung

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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